线性代数第6章二次型PPT格式课件下载.ppt
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,12,12,12,定义形如,的二次型称为二次型的标准形.,13,13,13,定义形如,的实二次型称为规范二次型.,p个,r-p个,n-r个,把一般二次型能否化成标准形,乃至规范形,这需要进行线性替换.,14,14,14,本章中心任务是通过可逆线性替换化实二次型为标准形和规范形.,15,15,15,二、线性替换,定义设两组变量有关系,称为由到的线性替换。
称为线性替换的矩阵.,16,16,16,定义如果线性替换的矩阵为正交矩阵,则称它为正交替换.,17,17,17,三合同矩阵,定义设A,B是n阶矩阵,如果存在可逆线性替换C.使得,则称矩阵A,B是合同的,记作,定理经过可逆线性替换,原二次型矩阵与新二次型的矩阵合同.,18,18,18,合同关系具有以下性质:
1.反身性:
2.对称性:
3.传递性:
19,19,19,例试证矩阵A,B合同,可逆,20,20,20,21,21,21,2化二次型为标准形,一、用配方法化任意二次型为标准形,二、用正交替换化实系数二次型为标准形,22,22,22,配方法,一、用配方法化任意二次型为标准形,23,23,23,例化二次型为标准形,并且写出所做线性替换.解,24,24,24,令,则得,反解,25,25,25,所做线性替换是,验证,是可逆线性替换.,26,26,26,A:
=matrix(1,-1,1,-1,-3,-3,1,-3,4);
C:
=matrix(1,1/2,-3/2,0,1/2,-1/2,0,0,1);
CTAC:
=multiply(transpose(C),A,C);
27,27,27,例化二次型为标准形.解做可逆线性替换令,得,28,28,28,令,从到的线性替换是,则,从到的线性替换是,29,29,29,所做线性替换是.,由于,是可逆线性替换.,用例题中的方法结合数学概念法可以证明,30,30,30,定理二次型用可逆线性替换化成标准形,推论对于对称矩阵A,存在可逆矩阵C,使得,是如上形式的对角矩阵.,31,31,31,证明用数学归纳法.设二次型为n=1时,结论显然成立.设结论对于n-1元二次型成立.现在讨论n元二次型.如果平方项有一个系数例如把f看成的二次多项式,配方得,令,反解得,32,32,32,对于g利用归纳假设,存在n-1阶可逆线性替换,使得,做线性替换,则得,可逆.,33,33,33,如果平方项系数全为零,设做线性替换,则得根据前面的讨论,存在可逆线性替换即,使得,34,34,34,二、用正交替换化实系数二次型为标准形,实系数二次型的矩阵是实对称矩阵,根据第五章存在正交矩阵Q使得,而做正交替换则得标准形定理对于实二次型f=XTAX,存在正交替换X=CY,把它化成对角形,而且对角线元素是矩阵A的特征值.,35,35,35,36,36,例二次曲面,二次项组成的二次型的矩阵的特征值基本上决定了二次曲面的形状.,37,38,38,椭球面,单叶双曲面,双叶双曲面,锥面,39,39,40,40,椭圆抛物面,双曲抛物面,椭圆柱面,双曲柱面,一对相交平面,41,41,42,抛物柱面,一对平行平面,一对重合平面,43,44,44,作业习题六1,2,3,4,5,6,7.有小题者,只做单号小题.,45,45,45,3化实二次型为规范形,定理(惯性定理)任意一个n个变量的实二次型f都可以经过可逆线性替换X=CZ化为唯一规范形,其中的r是二次型f的秩.,证明设可逆线性替换化为标准形,其中r为f的秩,再作可逆线性替换,则有,46,46,46,在证明唯一性之前,先解释一下线性替换的意义.,为f的规范形的矩阵,而,为C的线性无关的列向量组.,47,考虑四个变量的二次型设作可逆线性替换,f化为规范型,若则若则若则若则,48,48,48,现在证明唯一性.设有两个非退化线性替换,设考虑向量组,其个数是,故这个向量组线性相关,于是存在不全为零的数使得,使得,要证p=q.用反证法.设,由于则有.,49,49,49,于是,矛盾.故,50,50,50,定义上述定理中的系数+1
(1)的个数p(r-p)称为二次型的正(负)惯性指数,2pr称为符号差.,51,51,51,51,例化二次型,为规范形.,52,53,53,53,53,54,54,54,54,反解得,55,55,55,55,56,56,56,56,57,57,57,57,58,A:
=matrix(1,-1,1,-1,-1,1,1,-2,1,1,1,0,-1,-2,0,-2);
=matrix(1,0,1/(sqrt(3),-2/3,0,1/sqrt(3),0,-1/3,0,0,0,1,0,-1/sqrt(3),1/sqrt(3),2/3);
multiply(transpose(C),A,C);
59,59,59,59,证明一A可逆,其特征值逆矩阵A-1的特征值A与A-1的正惯性指数都等于正的的个数p,秩都是r,故它们合同.证明二由于A可逆,利用等式直接根据定义即知A与A-1合同.,例实对称可逆矩阵A与其逆矩阵A-1合同.(习题六4),60,60,60,作业习题六4,8
(1),(3)(实数情形),61,61,61,61,4正定二次型和正定矩阵一、基本概念二、正定矩阵的充分必要条件三、正定矩阵的性质,62,62,62,62,一、基本概念,定义设A为实n阶对称矩阵,如果对于任意非零向量X,二次型f(X)=XTAX均为正数,则称二次型f为正定的,其矩阵A称为正定矩阵.定义如果对于任意向量X,二次型f(X)=XTAX均为非负(非正)数,则称二次型f为半正(负)定的,其矩阵A称为半正(负)定矩阵.定义如果实二次型f(X)=XTAX对于某些向量X为正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二次型f(X)=是不定的.,63,63,63,63,例,64,64,64,64,这就证明了条件的充分性.,65,65,65,设A是正定矩阵,而是其任意特征值,X是属于的特征向量,则有,于是,必要性得证.,推论若A是正定矩阵,则|A|0.,证明,65,66,66,66,66,定理实对称矩阵A负定的充分必要条件是其特征值都是负数.,67,67,67,67,例判断下列矩阵是否为正定矩阵,解,68,68,68,68,69,69,69,69,E:
=matrix(1,0,0,0,1,0,0,0,1);
A:
=matrix(6,-2,2,-2,5,0,2,0,7);
f:
=det(lambda*E-A);
f_factor:
=factor(f);
eigenvalues(A);
eigenvects(A);
70,70,70,70,例设A为n阶实对称矩阵,且满足证明A为正定矩阵.证明设为A的特征值,则为的特征值,故,71,71,71,71,无实根.A的特征值为1,n重,故A是正定矩阵.其实这里的A就是单位矩阵.,72,72,72,72,定理实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与单位矩阵合同.,证明充分性.设实对称矩阵A合同于E,即存在可逆矩阵C,使得对于任意向量XO,由于C可逆,可从解出YO,于是,故A是正定的.,必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对称的,A合同于一个对角矩阵,其对角线元素是A的特征值由于A是正定的,这些特征值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同,故A合同于单位矩阵.,73,73,73,定理实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P,使得A=PTP.证明设A=PTP,P可逆.对于任意,由于P可逆,PXo,故,设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩阵,使得A=PTEP=PTP.,74,74,74,例A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R,使得RTAR和RTBR同时为对角形.证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交矩阵Q,使得QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则,为对角形.,75,75,75,例A,B正定,AB正定的充分必要条件是A,B可交换.证明必要性设AB正定,则AB对称,充分性设A,B可交换,则AB是实对称矩阵,A正定,A=CCT,C可逆.AB=CCTBCTBC,CTBC是正定矩阵,特征值全为正数,AB与CTBC有相同的特征值,也全为正数,故AB正定.,76,76,76,76,定理n阶实对称矩阵A负定的充分必要条件是它与负单位矩阵合同.,77,77,77,77,为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件,我们引进定义给定实对称矩阵则其前s行前s列元素组成的行列式称为A的顺序主子式.即,78,78,78,78,79,79,79,79,充分性.设矩阵A的所有顺序主子式0.要证明A是正定矩阵.用数学归纳法证明.n=1时显然:
设对于n1结论成立.An-1正定,存在n-1阶非退化矩阵G,使得,令,则,记,80,81,82,故A是正定矩阵.以下是这个证明中的矩阵缩写后的证明,大家可以对照阅读.,83,83,83,83,令,84,84,84,84,令,令,则,于是A与单位矩阵合同,故A是正定的.,推论n阶实对称矩阵A负定顺序主子式Ai满足,85,用配方法证明定理.仍用数学归纳法.n=1时结论成立.设对于n-1阶矩阵结论成立,则An-1正定.存在n-1阶可逆矩阵G,使得,86,87,88,88,88,88,例用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.,解,故A正定.,89,89,89,89,实对称矩阵A正定的充分必要条件是1.其特征值都是正数.2.A合同于3.可逆.4.A的顺序主子式全是正数.5.A的主子式全是正数.,90,90,90,90,例判断下列二次型是否正定:
91,91,91,92,92,92,例t在什么范围取值时二次型,是正定二次型?
解,93,93,93,94,94,94,定义实对称矩阵A的第行和第列的元素组成的行列式称为主子式.例如,是2阶主子式.其中只有是2阶顺序主子式.,95,95,95,95,实对称矩阵A半正定的充分必要条件是1.其特征值都是非负数.2.A合同于3.A的正惯性指数p=r.4.A的所有主子式非负.,96,96,96,定理实对称矩阵A半正定的充分必要条件是所有主子式非负.证明设A半正定.则A+tE正定.其所有主子式,个.,97,97,97,98,98,98,99,99,99,99,三、正定矩阵的性质,1.若A为正定矩阵,则|A|0,A可逆.2.若A为正定矩阵,则A-1也是正定矩阵.证明A为正定矩阵,其全部特征值为正数,A-1的全部特征值是它们的倒数,也全是正数,故A-1正定.3.正定矩阵的对角线元素都是正数.4.A为正定矩阵,Ak也是正定矩阵.5.A,B为同阶正定矩阵,则A+B是正定矩阵.6.若A为正定矩阵,则存在可逆矩阵P,使得A=PPT.7.A为正定矩阵,A的所有主子式大于零.
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- 线性代数 二次