《随机过程》第1章-预备知识优质PPT.pptx
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,中南民族大学经济学院,4,随机过程第1章-预备知识,1概率空间,基本概念,骰子“出现1点”,“出现2点”,“出现6点”,“点数不大于6”,“点数为偶数”等都为随机事件.,=1,2,3,4,5,6,=1,3,5=2,4,6,-代数,概率空间,背景,独立事件,例:
观察某路公交车某站候车人数。
中南民族大学经济学院,5,随机过程第1章-预备知识,1概率空间,基本概念,=至少0人候车=,为必然事件=至少1.5人候车=,为不可能事件,不包含任何样本点。
=0,1,2,记=至少10人候车=10,11,12,,A为随机事件,A可能发生,也可能不发生。
基本概念,概率空间,背景,独立事件,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,6,定义:
集合的某些子集组成集合族
(1)(必然事件)
(2)若,则,=(对立事件)(3)若,,则=1(可列并事件)则称为-代数,(,)为可测空间。
1概率空间,-代数,基本概念,概率空间,背景,独立事件,例:
抛掷一枚骰子,表示出现点。
中南民族大学经济学院,7,随机过程第1章-预备知识,1概率空间,=1,2,3,4,5,6,=,1,2,3,4,5,6,-代数,为-代数,,为可测空间,=,=的所有子集的集合,基本概念,概率空间,背景,独立事件,例:
连续投掷两次硬币试验。
中南民族大学经济学院,8,随机过程第1章-预备知识,1概率空间,=正正,正反,反正,反反,-代数,1=,正正,正反,反正,反反,2=,正正,正反,正正,正反,反正,反反,正反,反正,反反,正正,反正,反反,正正,正反,反正,反反,3=,反正,反反,反正,反反,正正,正反,正正,正反,反正,正正,正反,反反,正正,正反,反正,反反,4=,正反,正正,反正,反反,基本概念,概率空间,背景,独立事件,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,9,设(,)为可测空间,则(不可能事件)若,则(差事件)若,则=1,=1,=1(有限并,有限交,可列交事件),1概率空间,-代数,可测空间性质,-代数,基本概念,背景,独立事件,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,10,定义:
设(,)为可测空间,映射:
满足:
(1),01
(2)=1(3)=1=1,=,则称是(,)上的一个概率测度(简称概率),(,)为概率空间,为事件的概率。
1概率空间,概率空间,非负性,规一性,可列可加性,-代数,基本概念,背景,独立事件,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,11,性质:
设(,)为概率空间,则:
1=02A=,3lim=1,12=1,12,1概率空间,概率空间,-代数,基本概念,背景,独立事件,例:
袋中有2个红球,3个白球,从中不放回的接连取出两个球。
求第二次取出红球的概率。
中南民族大学经济学院,12,随机过程第1章-预备知识,1概率空间,概率空间,解:
设1表示第一次取出红球,2表示第一次取出白球,表示第二次取出红球,则有:
=1+2=|11+|22=1425+2435=25,概率空间,-代数,基本概念,背景,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,13,定义:
设,为概率空间,1,若对任意1,2,1,=2,3,,有=1=1则称1为独立事件族,或称1中的事件相互独立。
事件,独立,有=事件,相互独立,有=,1概率空间,独立事件,随机过程第一章预备知识,1概率空间2随机变量3特征函数、母函数4随机向量5条件期望,数字特征,常见分布,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,15,定义:
设,为概率空间,是定义在上取值于实数集的函数,如果满足,:
则称是上的随机变量,简记。
对,称=:
为随机变量的分布函数。
2随机变量,基本概念,数字特征,常见分布,例:
投掷两枚硬币试验。
中南民族大学经济学院,16,随机过程第1章-预备知识,2随机变量,=正正,正反,反正,反反,=正正,正反,反正,反反正正,正反,正正,反正,正正,反反,正反,反正,正反,反反,反正,反反正正,正反,反正,正正,正反,反反,正正,反正,反反,正反,反正,反反正正,正反,反正,反反,映射:
,正正=2,正反=反正=1,反反=0:
=,0反反,01正反,反正,反反,12正反,反正,反反,正正,2,分布函数为:
=:
=0,0反反=14,01正反,反正,反反=34,12正反,反正,反反,正正=1,2,=0,正正=正反=反正=反反=14,=1,为随机变量,基本概念,数字特征,常见分布,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,17,分布函数的性质:
(1)单调性:
若12,则12
(2)=lim=0,+=lim+=1(3)右连续,+0=这三个性质完全刻划了分布函数,2随机变量,基本概念,数字特征,常见分布,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,18,2随机变量,离散型随机变量,连续型随机变量,分布律:
=,=1,2,分布函数:
=,概率密度:
分布函数:
=,基本概念,基本概念,数字特征,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,19,2随机变量,常见分布,常见的离散型随机变量,基本概念,数字特征,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,20,2随机变量,常见分布,常见的连续型随机变量,基本概念,常见分布,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,21,定义:
设随机变量的分布函数为,若+则称=+为的数学期望(均值)。
2随机变量,数字特征,数学期望,离散型随机变量,连续型随机变量,分布律:
=,=1,2,数学期望:
=1,概率密度:
数学期望:
=+,基本概念,常见分布,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,22,方差:
设随机变量,若2,则称=2=22为的方差。
协方差:
设随机变量,,若2,2,则称=,=为,的协方差。
2随机变量,数字特征,方差&
协方差,基本概念,常见分布,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,23,定义:
设随机变量,,称=,为,的相关系数。
2随机变量,数字特征,相关系数,若=0,则称,不相关。
相关系数表示,之间的线性相关程度的大小,基本概念,常见分布,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,24,
(1)+=+
(2)若X,Y独立,则=(3)若X,Y独立,则+=2+2(4)(Schwarz不等式)若2,2,则222,2随机变量,数字特征,性质,随机过程第一章预备知识,1概率空间2随机变量3特征函数、母函数4随机向量5条件期望,常见分布,矩母函数,特征函数,母函数,3特征函数、母函数,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,26,常用变换,常用的数学变换,提示:
复分析、积分变换是随机过程讨论重要的工具,公式:
=cos+sin变换:
=+,=+=cos+sin变换:
=0+,变换:
=12+,=,常见分布,常用变换,矩母函数,母函数,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,27,设随机变量的分布函数为,称=+,+为的特征函数。
由于=1,所以特征函数必定存在。
分布律为=,=1,2,的离散型随机变量,特征函数为=1+概率密度为的连续型随机变量,特征函数为=+,3特征函数、母函数,特征函数,定义,常见分布,常用变换,矩母函数,母函数,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,28,
(1)设为特征函数,则0=1,1,=,其中表示的共轭复数。
(2)特征函数在,+=上一致连续。
(3)特征函数是非负定函数,即对任何正整数和任意实数1,2,及复数1,2,,恒有=1=10,3特征函数、母函数,特征函数,性质,常见分布,常用变换,矩母函数,母函数,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,29,证明:
特征函数非负定性,3特征函数、母函数,=1=1=1=1+=+=1=1=+=1=1=+=120,特征函数,常见分布,常用变换,矩母函数,母函数,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,30,(4)设,为常数,=+,则=(5)若1,2,是相互独立的随机变量,则=1+2+的特征函数为=12其中是随机变量的特征函数,=1,2,。
(6)设随机变量的阶矩存在,则其特征函数次可导,且当时,有0=,3特征函数、母函数,特征函数,性质,常见分布,常用变换,矩母函数,母函数,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,31,性质6,3特征函数、母函数,特征函数,证明:
的特征函数=+=可进行积分号下求导:
=+=+=+令=0,即得:
0=+=,注:
由特征函数求随机变量的数字特征=02=0=22,常见分布,常用变换,矩母函数,母函数,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,32,(7)
【逆转公式或反演公式】设分布函数为的随机变量的特征函数为,1,2是的连续点,则21=lim1212(8)
【唯一性定理】随机变量的分布函数与特征函数为一一对应且相互唯一确定。
=+=12+,3特征函数、母函数,特征函数,性质,特征函数是其密度函数的相差一个负号的傅氏变换密度函数是特征函数的相差一个负号傅氏反变换,常见分布,常用变换,矩母函数,母函数,中南民族大学经济学院,随机过程第1章-预备知识,33,(9)
【Bochner-Khinchine定理】函数是特征函数的充要条件:
非负定、连续且0=1,3特征函数、母函数,特征函数,性质,母函数,常见分布,矩母函数,常用变换,随机过程第1章-预备知识,34,中南民族大学经济学院,例:
设服从二项分布,,求的特征函数及、2和。
3特征函数、母函数,解:
的分布列为=,=1,=0,1,=0=0=+由性质得:
=0=+=0=2=0=22+=0=+22=22=,特征函数,母函数,常见分布,矩母函数,常用变换,随机过程第1章-预备知识,35,中南民族大学经济学院,例:
设0,1,求的特征函数。
=12+22=12+22=2+22=222+2+22=+=0,解微分方程得:
ln=122+=122+由0=1,得=0=122,特征函数,母函数,常见分布,矩母函数,常用变换,随机过程第1章-预备知识,36,中南民族大学经济学院,例:
设,2,求的特征函数。
0,1=122,2=+=1222,特征函数,母函数,常见分布,矩母函数,常用变换,随机过程第1章-预备知识,37,中南民族大学经济学院,例:
设1,是相互独立的随机变量,且,=1,2,,则=1=1,3特征函数、母函数,证明:
=+,=1,2,=1=1=+=1由唯一性定理知:
=1=1,特征函数,母函数,常见分布,矩母函数,常用变换,随机过程第1章-预备知识,38,中南民族大学经济学院,例:
,求的特征函数。
=1,00,0=+=0+1=0+1令=0+11=10+1=1=1,=0+1,0,特征函数,母函数,常见分布,矩母函数,常用变换,随机过程第1章-预备知识,39,中南民族大学经济学院,例:
设1,2,是相互独立的随机变量,且,=1,2,,则=1,3特征函数、母函数,证明:
特征函数,=11,=1,2,由特征函数性质可得:
=1=111=1再由
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