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2）构造成对比较阵）构造成对比较阵用成对比较法和用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。

成对比较阵。

3）计算权向量并作一致性检验）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。

检验，若通过，则特征向量为权向量。

4）计算组合权向量（作组合一致性检验）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。

组合权向量可作为决策的定量依据。

一一.层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤1建立建立层次次结构模型构模型在用层次分析法研究问题时，首先要根据问题的因果关系并将这些关系分解成若干个层次。

同一层次的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响,同时又支配下一层的因素或受下层因素的作用。

较简单的问题通常可分解为目标层（最高层）、准则层（中间层）和方案措施层（最低层）。

中间可有1个或几个层次。

与其他决策问题一样，研究分析者不一定是决策者，不应自作主张地作出决策。

目标层目标层O（选择旅游地选择旅游地）P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途例例.选择旅游地选择旅游地如何在如何在33个目的地中按照景色、个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归思维过程的归纳纳将决策问题分为将决策问题分为3个层次：

目标层个层次：

目标层O，准则层准则层C，方案层方案层P；

每层有若干元素，每层有若干元素，各层元素间的关系各层元素间的关系用相连的直线表示。

用相连的直线表示。

通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。

案对每一准则的权重。

将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。

权重。

层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。

成以上步骤，给出决策问题的定量结果。

22构造成对比较阵和权向量构造成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则设要比较各准则C1,C2,Cn对目标对目标O的重要的重要性性A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1,Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况一致比较一致比较不一致不一致正互反阵正互反阵A称称一致阵一致阵允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围定理2若A为一致矩阵，则

（1）A必为正互反矩阵。

（2）A的转置矩阵AT也是一致矩阵。

（3）A的任意两行成比例，比例因子（即wi/wj）大于零，从而rank（A）=1（同样，A的任意两列也成比例）。

（4）A的最大特征根max=n，其中n为矩阵A的阶。

A的其余特征根均为零。

（5）若A的最大特征根max对应的特征向量为W=（w1,wn）I，则aij=wi/wj，i,j=1,2,n。

定理1正互反矩阵A的最大特征根max必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。

A的其余特征根的模均严格小于max。

（证明从略）对于不一致对于不一致（但在允许范围内但在允许范围内）的成对比较阵的成对比较阵A，建议建议用对应于最大特征根用对应于最大特征根的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w，即，即根据定理1,2，我们可以由max是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。

由于特征根连续地依赖于aij，故max比n大得越多，A的非一致性程度也就越为严重，max对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X=x1,xn在对因素Z的影响中所占的比重。

因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。

2468比较尺度比较尺度aijSaaty等人提出等人提出19尺度尺度aij取值取值1,2,9及其互反数及其互反数1,1/2,1/9尺度尺度13579相同相同稍强稍强强强明显强明显强绝对强绝对强aij=1,1/2,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个用用13,15,117,1p9p（p=2,3,4,5）,d+0.1d+0.9（d=1,2,3,4）等等27种比较尺度对若干实种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优。

尺度较优。

便于定性到定量的转化：

3一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知：

已知：

n阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：

可证：

n阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根n,且且=n时为一致阵时为一致阵定义一致性指标定义一致性指标:

CI越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51n1234567891110为衡量为衡量CI的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指标RI随机模随机模拟得到拟得到aij,形成形成A，计算计算CI即得即得RI。

定义一致性比率定义一致性比率CR=CI/RI当当CR0.1时，通过一致性检验时，通过一致性检验Saaty的结果如下的结果如下“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根=5.073权向量权向量（特征向量特征向量）w=（0.263,0.475,0.055,0.090,0.110）T一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标RI=1.12（查表查表）一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0163）个顶点的双向连通竞赛图，存在个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数正整数r，使邻接矩阵使邻接矩阵A满足满足Ar0，A称称素阵素阵素阵素阵A的最大特征根为正单的最大特征根为正单根根，对应正特征向量，对应正特征向量s，且且排名为排名为1，2，4，3用用s排名排名1234（4）1,2,3,4?

1234566支球队比赛结果支球队比赛结果排名次序为排名次序为1，3，2，5，4，6v1能源利用量；

能源利用量；

v2能源价格；

能源价格；

v3能源生产率；

能源生产率；

v4环境质量；

环境质量；

v5工业产值；

工业产值；

v6就业机会；

就业机会；

v7人口总数。

人口总数。

8.3社会经济系统的冲量过程社会经济系统的冲量过程系统的元素系统的元素图的顶点图的顶点元素间的影响元素间的影响带方向的弧带方向的弧影响的正反面影响的正反面弧旁的弧旁的+、号号带符号的有向图带符号的有向图影响影响直接影响直接影响符号符号客观规律；

方针政策客观规律；

方针政策例例能源利用系统的预测能源利用系统的预测+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5带符号有向图带符号有向图G1=（V,E）的邻接矩阵的邻接矩阵AV顶点集顶点集E弧集弧集定性模型定性模型-vivj+某时段某时段vi增加导致增加导致下时段下时段vj增加增加减少减少带符号的有向图带符号的有向图G1+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5加权有向图加权有向图G2及其邻接矩阵及其邻接矩阵W定量模型定量模型某时段某时段vi增加增加1单位导致单位导致下时段下时段vj增加增加wij单位单位v70.311.511.51.20.8-2-2-0.7-0.5v1v2v3v4v5v6加权有向图加权有向图G2冲量过程冲量过程（PulseProcess）研究由某元素研究由某元素vi变化引起的系统的演变过程变化引起的系统的演变过程vi（t）vi在时段在时段t的的值值；

pi（t）vi在时段在时段t的的改变量改变量（冲冲量量）冲量过程模型冲量过程模型或或231-10010-12-21-110-11-11-10103-32-211-1能源利用系统的预测能源利用系统的预测简单冲量过程简单冲量过程初始冲量初始冲量p（0）中中某个分量为某个分量为1，其余为，其余为0的冲量过程的冲量过程若开始时能源利用量有突然增加，预测系统的演变若开始时能源利用量有突然增加，预测系统的演变设设能源利用系统的能源利用系统的p（t）和和v（t）-110-11-100011-100000100000010000000简单冲量过程简单冲量过程S的稳定性的稳定性任意时段任意时段S的各元素的值和冲量是否为有限的各元素的值和冲量是否为有限（稳定稳定）S不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定S冲量稳定冲量稳定对任意对任意i,t,|pi（t）|有有界界S值稳定值稳定对任意对任意i,t,|vi（t）|有界有界值稳定值稳定冲量稳定冲量稳定S的稳定性取决于的稳定性取决于W的特征根的特征根记记W的非零特征根为的非零特征根为S冲量稳定冲量稳定|1S冲量稳定冲量稳定|1且均为单且均为单根根S值稳定值稳定S冲量稳定冲量稳定且且不等于不等于1对于能源利用系统的邻接矩阵对于能源利用系统的邻接矩阵A特征多项式特征多项式能源利用系统存在能源利用系统存在冲量冲量不稳定不稳定的简单冲量过程的简单冲量过程简单冲量过程简单冲量过程S的稳定性的稳定性简单冲量过程的稳定性简单冲量过程的稳定性改进的玫瑰形图改进的玫瑰形图S*带符号的带符号的有向图双向连通，且存在一个有向图双向连通，且存在一个位于所有回路上的中心顶点。

位于所有回路上的中心顶点。

回路长度回路长度构成回路的边数构成回路的边数回路符号回路符号构成回路的各有向边符号构成回路的各有向边符号+1或或-1之乘积之乘积ak长度为长度为k的回路符号和的回路符号和r使使ak不等于不等于0的的最大整数最大整数S*冲量稳定冲量稳定若若S*冲量稳