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第四章第四章数理统计的基础知识数理统计的基础知识1.理解总体、个体、样本、简单随机样本、统计量、样本均值、样理解总体、个体、样本、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念,;@#@本方差及样本矩的概念,;@#@3.了解分位数的概念并会查表计算;@#@了解分位数的概念并会查表计算;@#@4.了解正态总体的常用抽样分布了解正态总体的常用抽样分布.在数理统计中,不是对所研究的对象全体在数理统计中,不是对所研究的对象全体(称为称为总总体体)进行观察,而是抽取其中的部分进行观察,而是抽取其中的部分(称为称为样本样本)进行观察进行观察获得数据获得数据(抽样抽样),并通过这些数据对总体进行推断,并通过这些数据对总体进行推断.4.1总体与样本总体与样本例如例如总体总体X,总体总体Y等等;@#@若若XN(),则称此总体为正态总体则称此总体为正态总体若若XP(,则称此总体为泊松总体,则称此总体为泊松总体,总体就是一个概率分布总体就是一个概率分布.样本观测值样本观测值.统计统计推断推断需要需要借助借助于于样本样本.因此,对样本就很有因此,对样本就很有讲究讲究.为此,我们必须对样本的抽取提出某些要求为此,我们必须对样本的抽取提出某些要求.要求的方式要求的方式很多,但在数学处理上比较方便,实际抽样中也比较很多,但在数学处理上比较方便,实际抽样中也比较容容易办到的是易办到的是满足满足下列下列条件的样本条件的样本:
@#@若总体若总体X的的样本样本满足满足:
@#@1.代表性:
@#@代表性:
@#@2.独立性:
@#@独立性:
@#@则称为简单随机样本.简单随机样本是应用中最常见的情形简单随机样本是应用中最常见的情形,今后今后,当说到当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的样本是取自某总体的样本”时,若不特别说明,就指简单随机样本时,若不特别说明,就指简单随机样本.总体(理论分布)总体(理论分布)样本样本样本值样本值?
@#@统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料-样本值,去推断总体的样本值,去推断总体的情况总体分布情况总体分布F(x)的性质的性质.由由样样本本值值去去推推断断总总体体情情况况,需需要要对对样样本本值值进进行行“加加工工”,这就要构造一些样本的函数,它把样本中所含的(某一,这就要构造一些样本的函数,它把样本中所含的(某一方面)的信息集中起来方面)的信息集中起来.4.2统计量统计量4.2统计量统计量1)样本均值样本均值2)样本方差样本方差3)样本标准差样本标准差4)样本的样本的k阶原点矩阶原点矩5)样本的样本的k阶中心矩阶中心矩修正样本方差修正样本方差与未修正样本方差与未修正样本方差的不同的不同6)6)顺序统计量顺序统计量例例11从一批机器零件毛坯中随机地抽取从一批机器零件毛坯中随机地抽取1010件件,测得其重量测得其重量为为(单位单位:
@#@公斤公斤):
@#@):
@#@210,243,185,240,215,228,196,235,200,199求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩.令4.3常用的统计分布常用的统计分布一、正态分布u水平水平的上侧的上侧分位数分位数.u标准正态分布的标准正态分布的分位数图形分位数图形常用常用数字数字/2/2u/2-u/2水平水平的双侧的双侧分位数分位数.附表附表2-12-1附表附表2-22-2是由正态分布派生出来的一种分布是由正态分布派生出来的一种分布.1.随机变量的典型随机变量的典型模式模式所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为n的的分布分布.记为记为性质性质1.设设相互独立相互独立,都服从正态分布都服从正态分布220.050.05(10)(10)n=10附表附表3-13-1附表附表3-13-1附表附表3-23-2附表附表3-33-3满足满足PX2F1的的1和和2.附表附表4-14-1表中无法查出表中无法查出.附表附表4-14-1表中无法查出表中无法查出.由由F1附表附表4-14-1附表附表4-24-2四、四、t分布分布t分布的典型模式分布的典型模式令令则则称称TT为服从为服从自由度为自由度为nn的的tt分布分布.n=1n=20(红色的是标准正态分布红色的是标准正态分布)3.t分布的上侧分布的上侧分位数分位数t与双测与双测分位数分位数t/2均均有表可查有表可查.n=10-tt由分布的对称性知由分布的对称性知附表附表5-15-1附表附表5-25-2t/2-t/2/2/2附表附表5-15-1附表附表5-15-1例例55已知已知tt(15)(15),求求.表中无法查出表中无法查出.附表附表5-25-2n=10-tt例例66设设(X(X11,XX22,XXnn)是来自正态总体是来自正态总体N(0,2N(0,2)的简单随机样本,求系数的简单随机样本,求系数a,b,c,使使Q=Q=a(X(X11+X+X22)+b(X(X33+X+X44+X+X55)+c(X(X66+X+X77+X+X88+X+X99)服从服从分布,并求自由度分布,并求自由度.4.4抽样分布抽样分布统计量统计量的分布称为的分布称为抽样抽样分布分布.抽样分布抽样分布精确抽样分布精确抽样分布近似分布近似分布(小样本问题中使用)(小样本问题中使用)(大样本问题中使用(大样本问题中使用)一、正态总体的抽样分布一、正态总体的抽样分布相互独立同分布相互独立同分布二、抽样分布的某些结论二、抽样分布的某些结论1.1.一个正态总体一个正态总体
(2)(3)
(1)2.2.两个正态总体两个正态总体2.2.两个正态总体两个正态总体例例设总体设总体X服从正态分布服从正态分布N(,X1,X2,Xn是是总体总体X的一组样本,的一组样本,试问试问,样本容样本容量量n至少应取多大至少应取多大,才能使才能使
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