数学建模中的层次分析法_精品文档PPT文件格式下载.ppt

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层主要用于确定综合评价的权重系数。

层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。

次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。

层次分析法简介层次分析法简介一、层次分析法基本原理一、层次分析法基本原理分解分解建立建立确定确定计算计算判断判断实际问题实际问题层次结构层次结构多个因素多个因素诸因素的相诸因素的相对重要性对重要性权向量权向量综合决策综合决策二、层次分析法基本步骤一、确定权系数一、确定权系数设设x1,x2,xn为对应各因素的决策变量。

为对应各因素的决策变量。

其线性组合：

y=w1x2+w2x2+wnx是综合评判函数。

是综合评判函数。

w1,w2,wn是权重系数，其满足：

是权重系数，其满足：

wi0,对权重系数的量化过程

（1）成对比较）成对比较从从x1,x2,xn中任取中任取xi与与xj比较它们对于比较它们对于y贡献贡献（重要程度）的大小，按照以下标度给（重要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值：

赋值：

xi/xj1，认为认为“xi与与xj重要程度相同重要程度相同”xi/xj3，认为认为“xi比比xj重要程度略大重要程度略大”xi/xj5，认为认为“xi比比xj重要程度大重要程度大”xi/xj7，认为认为“xi比比xj重要程度大很多重要程度大很多”xi/xj9，认为认为“xi比比xj重要程度绝对大重要程度绝对大”当比值为当比值为2，4，6，8时时认为介于前后中间状态。

认为介于前后中间状态。

（2）建立逆对称矩阵）建立逆对称矩阵由由xi/xj建立建立n阶方阵阶方阵A（3）迭迭代代按下列方法求向量迭代序列：

按下列方法求向量迭代序列：

e0=（1/n1/n1/n）Tek=Aek-1|ek|为为Aek-1的的n个分量之和个分量之和ek=ek/|ek|,k=1,2,数列数列ek是是收敛的，记其极限为收敛的，记其极限为e.且且记记e=（a1a2an）于是取权重系数于是取权重系数wi=ai例1：

评价影视作品在在电视节上评价影视作品，用以下三个电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：

评价指标：

x1表示教育性表示教育性x2表示艺术性表示艺术性x3表示娱乐性表示娱乐性有一名专家经成对，赋值：

有一名专家经成对，赋值：

x1/x2=1x1/x3=1/5x2/x3=1/3于是得到逆对称矩阵于是得到逆对称矩阵由于由于e4=e3,迭代经过迭代经过4次中止，权系数是次中止，权系数是w1=0.156,w2=0.185,w3=0.659相应的综合评价公式是相应的综合评价公式是Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3如果用同样的分制来给作品的三个指如果用同样的分制来给作品的三个指标评分，由以上公式算出的便是作品综标评分，由以上公式算出的便是作品综合评分合评分y。

目标层目标层O（选择旅游地选择旅游地）P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途例例2.2.选择旅游地选择旅游地如何在如何在33个目的地中按照景色、费用、居个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择住条件等因素选择.“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归思维过程的归纳纳将决策问题分为将决策问题分为3个层次：

目标层个层次：

目标层O，准则层准则层C，方案层方案层P；

每层有若干元素，每层有若干元素，各层元素间的关系各层元素间的关系用相连的直线表示。

用相连的直线表示。

通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。

案对每一准则的权重。

将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。

权重。

层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。

成以上步骤，给出决策问题的定量结果。

层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则设要比较各准则C1,C2,Cn对目标对目标O的重要性的重要性A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1,Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况一致比较一致比较不一致不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况满足满足的正互反阵的正互反阵A称称一致阵一致阵，如，如A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为nA的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n的特征向量的特征向量A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致对于不一致（但在允许范围内但在允许范围内）的成对的成对比较阵比较阵A，建议用对应于最大特征根建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w，即即一致阵一致阵性质性质成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量2468比较尺度比较尺度aijSaaty等人提出等人提出19尺度尺度aij取值取值1,2,9及其互反数及其互反数1,1/2,1/9尺度尺度13579相同相同稍强稍强强强明显强明显强绝对强绝对强aij=1,1/2,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个用用13,15,117,1p9p（p=2,3,4,5）,d+0.1d+0.9（d=1,2,3,4）等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，阵，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优。

尺度较优。

便于定性到定量的转化：

成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知：

已知：

n阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：

可证：

n阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根n,且且=n时为一致阵时为一致阵定义一致性指标定义一致性指标:

CI越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51n1234567891110为衡量为衡量CI的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指标RI随机模随机模拟得到拟得到aij,形成形成A，计算计算CI即得即得RI。

定义一致性比率定义一致性比率CR=CI/RI当当CR0.1时，通过一致性检验时，通过一致性检验Saaty的结果如下的结果如下“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根=5.073权向量权向量（特征向量特征向量）w=（0.263,0.475,0.055,0.090,0.110）T一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标RI=1.12（查表查表）一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致通过一致性检验性检验组合权向量组合权向量记第记第2层（准则）对第层（准则）对第1层（目标）层（目标）的权向量为的权向量为同样求第同样求第3层层（方案方案）对第对第2层每一元素层每一元素（准则准则）的权向量的权向量方案层对方案层对C1（景色景色）的成对比较阵的成对比较阵方案层对方案层对C2（费用费用）的成对比较阵的成对比较阵CnBn最大特征根最大特征根12n权向量权向量w1（3）w2（3）wn（3）

（2）考虑第）考虑第3层对第层对第2层层由由19尺度得尺度得权向量矩阵权向量矩阵（3）组合权向量）组合权向量（4）组合一致性检验）组合一致性检验第第3层对第层对第2层的计算结果层的计算结果k10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量组合权向量RI=0.58（n=3）,CIk均可通过一致性检验均可通过一致性检验w

（2）0.2630.4750.0550.0900.110方案方案P1对目标的组合权重为对目标的组合权重为0.5950.263+=0.300方案层对目标的组合权向量为方案层对目标的组合权向量为（0.300,0.246,0.456）T旅游决策旅游决策问题计算算结果果权向量向量C对U0.2640.4760.0540.0980.109m

（2）CI

（2）CR

（2）5.0720.0180.016准准则C方案方案PC1C2C3C4C5组合合权向量向量P对U权向向量量P对CP10.5950.0820.4290.6340.1670.299P20.2760.2360.4290.1920.1670.245P30.1220.6820.1420.1740.6670.455m（3）3.0063.00233.0093CR（3）CI（3）0.0030.00100.0050RI（3）0.580.580.580.580.580.019再谈层次分析法的基本步骤再谈层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则或指标准则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。

各因素基本上相对独立。

2）构造成对比较阵）构造成对比较阵用成对比较法和用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。

成对比较阵。

3）计算权向量并作一致性检验）计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。

检验，若通过，则特征向量为权向量。

4）计算组合权向量（作组合一致性检验）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。

组合权向量可作为决策的定量依据。

组合组合权向量权向量第第1层层O第第2层层C1,Cn第第3层层P1,Pm第第2层对第层对第1层的权向量层的权向量第第3层对第层对第2层各元素的权向量层各元素的权向量构造矩阵构造矩阵则第则第3层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量第第s层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量其中其中W（p）是由第是由第p层对第层对第p-1层权向量组成的矩阵层权向量组成的矩阵二二.层次分析法的广泛应用层次分析法的广泛应用应用领域：

经济计划和管理，能源政策和分配，应用领域：

经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。

产业结构，教育，医疗，环境，军事等。

处理问题类型：

决策、评价、分析、预测等。

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