12第3章3数字特征PPT推荐.ppt

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如果它们的方差果它们的方差DX和和DY也存在，称也存在，称（DX,DY）为为（X,Y）的方差的方差（向向量量）.例例1设设（X,Y）服从二维两点服从二维两点（0-1）分布分布（如下表如下表）,求求（X,Y）的期的期望望（向量向量）和和方差方差（向量向量）。

一、二一、二维随机向量的随机向量的数学期望数学期望（X,Y）（0,0）（1,1）P1-1-ppYX01PX01-p01-p10ppPY1-pp1（EX,EY）=（p,p）（DX,DY）=（pq,pq）3二维随机向量函数的数学期望二维随机向量函数的数学期望由二维随机向量由二维随机向量（X,Y）的联合分布，求的联合分布，求Z=g（X,Y）的期望。

的期望。

首先回忆上章随机变量函数首先回忆上章随机变量函数Y=g（X）的期望公式：

的期望公式：

若若PX=xk=pk，（k=1,2,），则EY=Eg（X）=若若Xf（x）,xR，则EY=Eg（X）=定理定理3.3对于于随机向量函数随机向量函数Z=g（X,Y）离散型离散型若若（X,Y）有有PX=xi,Y=yj=pij（i,j=1,2,）则EZ=Eg（X,Y）=连续型型若若（X,Y）f（x,y）（x,y）R2则EZ=Eg（X,Y）=二、二二、二维随机向量函数的数学期望随机向量函数的数学期望4二、二二、二维随机向量函数的数学期望随机向量函数的数学期望随机向量函数随机向量函数Z=g（X,Y）离散型离散型PX=xi,Y=yj=pij连续型型（X,Y）f（x,y）（x,y）R25三、期望和方差的补充性质三、期望和方差的补充性质期望期望E（c）=c（c为常数为常数）E（aX）=aE（X）E（X+b）=EX+bE（aX+b）=aEX+b并且并且E（XY）=EXEY方差方差D（c）=0（c为常数为常数）D（aX）=a2D（X）D（X+b）=DXD（aX+b）=a2D（X）若若X与与Y相互独立相互独立D（XY）=DX+DY首先回忆第二章中期望与方差的性质首先回忆第二章中期望与方差的性质6性质性质1.若随机变量若随机变量X与与Y的期望的期望EX、EY都存在，则都存在，则E（XY）=EXEY可推广到可推广到n个随机个随机变量量代数和的代数和的期望期望若随机变量若随机变量X1,X2,Xn的期望都存在，则的期望都存在，则E（X1X2Xn）=EX1EX2EXn特特别地地三、期望和方差的补充性质三、期望和方差的补充性质7性质性质1.E（XY）=EXEYE（X1X2Xn）=EX1EX2EXn性质性质2.若随机变量若随机变量X与与Y相互独立，且期望都存在，则相互独立，且期望都存在，则E（XY）=EXEY可推广到可推广到n个个独立独立随机随机变量量积的的期望期望若随机变量若随机变量X1,X2,Xn相互独立，且期望都存在，则相互独立，且期望都存在，则E（X1X2Xn）=EX1EX2EXn三、期望和方差的补充性质三、期望和方差的补充性质注意：

逆命题不成立注意：

逆命题不成立8性质性质1.E（XY）=EXEYE（X1X2Xn）=EX1EX2EXn性质性质2.若随机变量若随机变量X与与Y相互独立，则相互独立，则E（XY）=EXEYE（X1X2Xn）=EX1EX2EXn性质性质3.若随机变量若随机变量X与与Y的方差都存在，则的方差都存在，则D（XY）=DX+DY2E（X-EX）（Y-EY）=DX+DY2E（XY）-EXEY）三、期望和方差的补充性质三、期望和方差的补充性质证明证明D（X+Y）=E（X+Y）-E（X+Y）2=E（X-EX）+（Y-EY）2=E（X-EX）2+（Y-EY）2+2（X-EX）（Y-EY）=DX+DY+2E（X-EX）（Y-EY）记记Cov（X,Y）=E（X-EX）（Y-EY）=EXY-YEX-XEY+EXEY）=E（XY）-EXEY-EYEX+EXEY=E（XY）-EXEY9性质性质1.E（XY）=EXEYE（X1X2Xn）=EX1EX2EXn性质性质2.若随机变量若随机变量X与与Y相互独立，则相互独立，则E（XY）=EXEYE（X1X2Xn）=EX1EX2EXn性质性质3.D（XY）=DX+DY2E（XY）-EXEY）性质性质4.若随机变量若随机变量X与与Y相互独立，且方差都存在，则相互独立，且方差都存在，则D（XY）=DX+DY可推广到可推广到n个独立随机个独立随机变量的代数和量的代数和若随机变量若随机变量X1,X2,Xn相互独立，且方差都存在，则相互独立，且方差都存在，则D（X1X2Xn）=DX1+DX2+DXn三、期望和方差的补充性质三、期望和方差的补充性质证明证明若若X与与Y相互独立，则相互独立，则E（XY）=EXEYCov（X,Y）=E（X-EX）（Y-EY）=E（XY）-EXEY=0D（XY）=DX+DY2Cov（X,Y）=DX+DY注意：

逆命题不成立！

注意：

逆命题不成立10性质性质1.E（XY）=EXEYE（X1X2Xn）=EX1EX2EXn性质性质2.若随机变量若随机变量X与与Y相互独立，则相互独立，则E（XY）=EXEYE（X1X2Xn）=EX1EX2EXn性质性质3.D（XY）=DX+DY2E（XY）-EXEY）性质性质4.若随机变量若随机变量X与与Y相互独立，且方差都存在，则相互独立，且方差都存在，则D（XY）=DX+DY若随机变量若随机变量X1,X2,Xn相互独立，且方差都存在，则相互独立，且方差都存在，则D（X1X2Xn）=DX1+DX2+DXn性质性质5.若随机变量若随机变量X与与Y相互独立，且方差都存在，则相互独立，且方差都存在，则D（XY）=DXDY+（EX）2DY+（EY）2DX三、期望和方差的补充性质三、期望和方差的补充性质11例题例题2已知二维随机向量已知二维随机向量（X,Y）的概率分布如下表，的概率分布如下表，判断判断X与与Y的独的独立性立性.E（XY）与与EXEY是否相等？

是否相等？

YX-101PX-10.300.310.10.20.1PY1解解先求先求边缘分布边缘分布PX=-1,Y=0=0PX=-1PY=0=0.12X与与Y不独立不独立EX=-0.2,EY=0，EXEY=0求出求出Z=XY的分布表的分布表E（XY）=0=EXEY，或由，或由E（XY）=0.40.4XY-101P0.40.20.40.60.40.2=（-1）（-1）0.2+（-1）10.2+1（-1）0.1+110.1=0E（XY）=EXEY，（注意：

X与与Y不独立不独立）121.定义定义3.12（covariance）若随机变量若随机变量X与与Y的期望、方差都存在，的期望、方差都存在，则则记记Cov（X,Y）=E（X-EX）（Y-EY）=E（XY）-EXEY称为称为随机变量随机变量X与与Y的协方差。

的协方差。

四、两个随机变量的协方差四、两个随机变量的协方差利用利用随机向量函数随机向量函数Z=g（X,Y）=（X-EX）（Y-EY）的期望公式可得的期望公式可得离散型离散型若若（X,Y）有有PX=xi,Y=yj=pij（i,j=1,2,）则Cov（X,Y）=连续型型若若（X,Y）f（x,y）（x,y）R2则Cov（X,Y）=132.2.协方差协方差的性质的性质若若X与与Y的协方差的协方差Cov（X,Y）存在，则存在，则Cov（X,Y）=Cov（Y,X）Cov（X,X）=DXCov（Y,Y）=DYCov（aX,bY）=abCov（X,Y）Cov（X+a,Y+b）=Cov（X,Y）Cov（X+Y,Z）=Cov（X,Z）+Cov（Y,Z）Cov（X+Y,X-Y）=DX-DYD（XY）=DX+DY2Cov（X,Y）若若X与与Y相互独立，则相互独立，则E（XY）=EXEYCov（X,Y）=0D（XY）=DX+DY四、两个随机变量的协方差四、两个随机变量的协方差由定义由定义Cov（X,Y）=E（X-EX）（Y-EY）E（X-EX）（Y-EY）=E（Y-EY）（X-EX）Cov（X,X）=E（X-EX）（X-EX）=DXE（aX-E（aX）（bY-E（bY）=abE（X-EX）（Y-EY）E（X+a）-E（X+a）（Y+b）-E（Y+b）=E（X-EX）（Y-EY）Cov（X+Y,X-Y）=Cov（X,X）+Cov（Y,X）-Cov（X,Y）-Cov（Y,Y）=DX-DY14例题例题3已知二维随机向量已知二维随机向量（X,Y）的概率分布如下表，求的概率分布如下表，求Cov（X,Y）.YX012PX00.30.2010.10.10.3PY1解解先求先求边缘分布边缘分布EX=0.5EY=00.4+10.3+20.3=0.9求出求出Z=XY的分布表的分布表E（XY）=10.1+20.3=0.7Cov（X,Y）=E（XY）-EXEY=0.7-0.50.9=0.250.40.3XY012P0.60.10.30.50.50.3协方差从一定程度上反映了协方差从一定程度上反映了X与与Y之间的某种关系，但它是绝对量之间的某种关系，但它是绝对量.15例题例题4设（X,Y）的密度函数为的密度函数为求求X与与Y的协方差的协方差Cov（X,Y）。

解解同理可得同理可得Cov（X,Y）=E（XY）-EXEY=16五、相关系数五、相关系数1.定义定义3.13（相关系数相关系数）若随机变量若随机变量X与与Y的期望、方差都存在，且的期望、方差都存在，且DX0，DY0，则，则记记称为称为随机变量随机变量X与与Y的相关系数。

的相关系数。

也可也可简记为rr表示表示随机变量随机变量X与与Y之间的关系程度大小。

之间的关系程度大小。

它可看作是它可看作是协方差的相方差的相对化量形式，或是化量形式，或是标准化的准化的协方差。

方差。

令令则Exx=0，Dxx=1Ehh=0，Dhh=1Cov（x,hx,h）=E（xhxh）-ExxEhh172.相关系数的性质相关系数的性质|rrXY|1证证对任意对任意tR,D（Y-tX）=E（Y-tX）-E（Y-tX）2=E（Y-EY）-t（X-EX）2=E（Y-EY）2-2t（X-EX）（Y-EY）+t2（X-EX）2=E（Y-EY）2-2tE（X-EX）（Y-EY）+t2E（X-EX）2=DY-2tCov（X,Y）+t2DX0=-2Cov（X,Y）2-4DXDY0即即Cov（X,Y）2DXDY五、相关系数五、相关系数|rrXY|1即即-1rrXY1（定理定理3.4）182.相关系数的性质相关系数的性质|rrXY|1若若Y=aX+b（a0），则则|rrXY|=1,且当且当a0时rr=1证证设