一元二次函数辅导讲义.doc
- 文档编号:1546388
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOC
- 页数:7
- 大小:353.50KB
一元二次函数辅导讲义.doc
《一元二次函数辅导讲义.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《一元二次函数辅导讲义.doc(7页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
艺缘艺校辅导讲义
一元二次函数解法讲义
【知识梳理】
1.定义:
一般地,如果,那么
2.二次函数(配方得:
的形式,其中
3.抛物线的三要素:
开口方向、对称轴、顶点.
①的符号决定抛物线的开口方向:
(1)当时,开口向上;顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大,当,y值最小,最小值为
(2)当时,开口向下;顶点是抛物线的最高点,在对称轴左侧,y随x的增大而减小,当,y值最大,最大值为
(3)相等,抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴(或重合)的直线记作.特别地,y轴记作直线.
4.顶点决定抛物线的位置:
几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.
5.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法:
,
∴顶点是,对称轴是直线.
(2)配方法:
运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为,对称轴是直线.
(3)运用抛物线的对称性:
由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
6.抛物线
(1)决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.
(2)和共同决定抛物线对称轴的位置:
由于抛物线的对称轴是直线,故:
①时,对称轴为轴②>0(即、同号)时,对称轴在轴左侧
③(即、异号)时,对称轴在轴右侧.
(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.
当,∴抛物线与轴有且只有一个交点(0,):
①,抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴;③,与轴交于负半轴.
以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则.
7.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)一般式:
.已知图像上三点或三对的值,通常选择一般式.
(2)顶点式:
.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
(3)交点式:
已知图像与轴的交点坐标,通常选用交点式:
.
8.直线与抛物线的交点
(1)轴与抛物线得交点为.
(2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).
(3)抛物线与轴的交点:
二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标,是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的
判别式判定:
①有两个交点抛物线与轴相交;
②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切;
③没有交点抛物线与轴相离.
(4)平行于轴的直线与抛物线的交点:
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,则横坐标是的两个实数根.
(5)一次函数的图像与二次函数的图像的交点,由方程组
的解的数目来确定:
①方程组有两组不同的解时与有两个交点;
②方程组只有一组解时与只有一个交点;③方程组无解时与没有交点.
(6)抛物线与轴两交点之间的距离:
若抛物线与轴两交点为,由于是方程的两个根,故
经典例题:
y
x
例
1
图
-1
1
O
【例1】二次函数的图像如图所示,那么、、、这四个代数式中,值为正的有()
A、4个B、3个C、2个D、1个21世纪教育网
解析:
∵<1
∴>0
答案:
A
评注:
由抛物线开口方向判定的符号,由对称轴的位置判定的符号,由抛物线与轴交点位置判定的符号。
由抛物线与轴的交点个数判定的符号,若轴标出了1和-1,则结合函数值可判定、、的符号。
【例2】已知,≠0,把抛物线向下平移1个单位,再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式。
分析:
①由可知:
原抛物线的图像经过点(1,0);②新抛物线向右平移5个单位,再向上平移1个单位即得原抛物线。
解:
可设新抛物线的解析式为,则原抛物线的解析式为,又易知原抛物线过点(1,0)
∴,解得
∴原抛物线的解析式为:
评注:
解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系,以及所对应的解析式间的联系,并注意逆向思维的应用。
另外,还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动,常见的几种变动方式有:
①开口反向(或旋转1800),此时顶点坐标不变,只是反号;②两抛物线关于轴对称,此时顶点关于轴对称,反号;③两抛物线关于轴对称,此时顶点关于轴对称;
探索与创新:
21世纪教育网
【问题】已知,抛物线(、是常数且不等于零)的顶点是A,如图所示,抛物线的顶点是B。
(1)判断点A是否在抛物线上,为什么?
(2)如果抛物线经过点B,①求的值;②这条抛物线与轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形?
若能,求出它的值;若不能,请说明理由。
解析:
(1)抛物线的顶点A(,),而当时,=,所以点A在抛物线上。
(2)①顶点B(1,0),,∵,∴;②设抛物线与轴的另一交点为C,∴B(1,0),C(,0),由抛物线的对称性可知,△ABC为等腰直角三角形,过A作AD⊥轴于D,则AD=BD。
当点C在点B的左边时,,解得或(舍);当点C在点B的右边时,,解得或(舍)。
故。
评注:
若抛物线的顶点与轴两交点构成的三角形是直角三角形时,它必是等腰直角三角形,常用其“斜边上的中线(高)等于斜边的一半”这一关系求解有关问题。
针对练习:
一.填空题
1.把抛物线向左平移2个单位得抛物线,接着再向下平移3个单位,得抛物线.
2.函数图象的对称轴是,最大值是.
3.正方形边长为3,如果边长增加x面积就增加y,那么y与x之间的函数关系是.
4.二次函数,通过配方化为的形为.
5.二次函数(c不为零),当x取x1,x2(x1≠x2)时,函数值相等,则x1与x2的关系是.
6.抛物线当b=0时,对称轴是,当a,b同号时,对称轴在y轴侧,当a,b异号时,对称轴在y轴侧.
7.抛物线开口,对称轴是,顶点坐标是.如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是.
8.若a<0,则函数图象的顶点在第象限;当x>时,函数值随x的增大而.
9.二次函数(a≠0)当a>0时,图象的开口a<0时,图象的开口,顶点坐是.
10.抛物线,开口,顶点坐标是,对称是.
11.二次函数的图象的顶点坐标是(1,-2).
12.已知,当x时,函数值随x的增大而减小.
13.已知直线与抛物线交点的横坐标为2,则k=,交点坐标为.
14.用配方法将二次函数化成的形式是.
15.如果二次函数的最小值是1,那么m的值是.
二、选择题:
16.在抛物线上的点是()
A.(0,-1)B.C.(-1,5)D.(3,4)
17.直线与抛物线的交点个数是()
A.0个B.1个C.2个D.互相重合的两个
18.关于抛物线(a≠0),下面几点结论中,正确的有()
①当a>0时,对称轴左边y随x的增大而减小,对称轴右边y随x的增大而增大,当a<0时,情况相反.
②抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.
③只要解析式的二次项系数的绝对值相同,两条抛物线的形状就相同.
④一元二次方程(a≠0)的根,就是抛物线与x轴交点的横坐标.
A.①②③④B.①②③C.①②D.①
19.二次函数y=(x+1)(x-3),则图象的对称轴是()
A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-3
20.图象的顶点为(-2,-2),且经过原点的二次函数的关系式是()
A.y=(x+2)2-2B.y=(x-2)2-2C.y=2(x+2)2-2D.y=2(x-2)2-2
21.若抛物线的对称轴是则()
A.2B.C.4D.
22.若函数的图象经过点(1,-2),那么抛物线的性质说得全对的是()
A.开口向下,对称轴在y轴右侧,图象与正半y轴相交
B.开口向下,对称轴在y轴左侧,图象与正半y轴相交
C.开口向上,对称轴在y轴左侧,图象与负半y轴相交
D.开口向下,对称轴在y轴右侧,图象与负半y轴相交
23.二次函数中,如果b+c=0,则那时图象经过的点是()
A.(-1,-1)B.(1,1)C.(1,-1)D.(-1,1)
24.函数与(a<0)在同一直角坐标系中的大致图象是()
25.如图,抛物线与y轴交于A点,与x轴正半轴交于B,C两点,且BC=3,S△ABC=6,则b的值是()
A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4
26.二次函数(a<0),若要使函数值永远小于零,则自变量x的取值范围是()
A.X取任何实数B.x<0C.x>0D.x<0或x>0
27.抛物线向左平移1个单位,向下平移两个单位后的解析式为()
A.B.
C.D.
28.二次函数(k>0)图象的顶点在()
A.y轴的负半轴上B.y轴的正半轴上
C.x轴的负半轴上D.x轴的正半轴上
29.四个函数:
(x>0),(x>0),其中图象经过原点的函数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
30.不论x为值何,函数(a≠0)的值永远小于0的条件是()
A.a>0,Δ>0B.a>0,Δ<0
C.a<0,Δ>0D.a<0,Δ<0
7
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 一元 二次 函数 辅导 讲义
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)