外文翻译--结构分析的矩阵方法-精品Word下载.doc
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1.外文资料翻译译文;
2.外文原文。
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外文资料翻译译文
结构分析的矩阵方法
1.力法和应变方法
在前述的章节已经介绍解决静不定系统的各种各样的方法。
它们可分为两大类。
例如,在分析拱门和框架结构时,分析步骤如下。
首先,所有的冗余的约束被对应的冗余的力(或力矩)取代,这些力的大小可通过基于应变能的最小势能原理解得。
类似的过程也被用于解静不定桁架的分析,这些方法统称为力法。
在连续梁和框架分析中,另一种不同的方法曾被使用。
在这个情况下,我们首先计算了结点的旋转的角度(变形)而冗余力是后来才求的。
在连续梁的分析中使用了的3角度方程代表另一种方法。
这样的方法称为应变方法。
我们用一个例子来说明这两种方法之间的区别,如图10.1的平面静不定桁架,一力P分解为Px和PY,作用在的5根悬于刚性基础的等截面杆交点A处。
因为杆数量大于A点平衡方程的数目,很明显这是一个静不定问题。
一般来说,如果绞点A由n根杆铰接而成,那么冗余的杆将是(n-2)。
因此,为了根据力法解出对应的冗余的力X1,X2,X3,……Xn-2,我们根据这些力的作用,通过最小势能原理获得应变能表达式,进而获得所需的方程:
эU/эX1=0эU/эX2=0……(a)
其中每个方程都包含所有冗余力,因此随着杆数目的增加,方程(a)的求解将变得越来越麻烦。
解决相同的问题,Navier建议使用的移置方法。
在图10.1的系统中,如果知道在力P作用下A点的各自的水平位移u、垂直位移v,那么系统变形将完全确定下来。
假设P引起的位移量很小,那么第i杆的拉长量△li=vSinai–ucosai
杆中的对应的轴力为Si=EAi(vSinai–ucosai)/li=EAi(vSinai–ucosai)Sinai/h(b)
再写出铰点A的两个平衡方程,得
v∑AiSinaiCosai-u∑AiCos2aiSinai=Pxh/E(c)
v∑AiSinai-u∑AiSinaiCosai=Pyh/E
从这两个方程中,在任一种特殊的情形下我们都很容易求出未知的u和v。
之后,再将u和v代入任何系统中的(b)表达式中求出系统中任一根杆的Si。
对于这个问题,可以看出,直接考虑系统变形使得问题解决简单化,尤其在遇到很多根杆的时候,无需考虑杆的多少,我们只需解2个方程而已。
在类似的方法下,对连续梁的直接变形分析在许多方面使问题简单化。
如果我们去除所有的中间支持只考虑产生的多余的对应反力X1,X2,X3,……,用最少势能原理导出方程组(a),其中每个方程均包含所有的未知量。
因此如果梁跨度很大,那么问题的解决将很麻烦的。
对这个问题的解决办法上的重大改进在于:
将连续梁的看成两端支撑的简单杆并计算出这根杆末端旋转的角度。
接着,根据连续梁在中间支撑处转角一定相等的条件,已知的3角度方程即可获得。
这些方程比方程组(a)简单多了,因为他们没有一个包含有3个以上未知数。
另一个运用应变方法使问题大为简单的代表例子是图10.2所示系统。
4个两端固定杆刚接于a点。
忽略杆中轴力影响,这个系统有7个冗余的元素,为解决这个问题,用最少势能原理得到7个方程。
再用结构应变使问题变得非常简单。
这种变形完全是载荷作用下交点旋转的角度θa决定。
解出这一角度后,所有元素的末端可由力矩-变形方程解出。
因此,在结点a的末端力矩方程的基础上只需一个方程即可解出变形。
但并不能从前述讨论静不定系统中总结出应变方法总比力法要优异。
例如,在一个含有1个冗余度和10个结点的简单桁架中,用上面的应变的方法将变得很麻烦,而使用的力法是极其简单的。
在处理高次静不定系统时,我们通常发现那不管我们用的力法还是应变方法,都要解带有许多未知量的线性代数方程组。
抛开结构分析的其他任何特别的问题,让我们考虑如下系统的方程:
……………………………….. (10.1)
理论上讲,这种线性代数方程总是可解的,但是随着方程数目的增加,解方程的过程将变得十分麻烦,为了简化解题技巧,介绍一种矩阵代数的记法。
因此,在矩阵记法中,方程(10.1)可精简为:
[aij][xj]=[ci](10.1a)
或简记Ax=c(10.1b)
方括号表达式中的每个数组(或记法)被称为一个矩阵。
数(或记法)本身被称为元素,当矩阵有m行和n列时,矩阵被称为m*n型。
当仅仅在矩阵有一列或一行元素时,它被称为列向量或行向量。
认为(10.1a)矩阵[aij]以这种方式作用于列向量[xj]组成了上面方程组的左边。
因此有必要去学习一些矩阵代数的规则。
但在这之前,读者应认清结构分析的矩阵方法并没有什么特别的或不可思议的,也并不代表它比前述章节讨论的手算方法更为优越。
它真正的优势在于它引导去更好的利用了电子计算机。
因此,避免了棘手的手算麻烦而另辟了一条结构分析的道路。
在可得到的有限的空间里,我们将不可能揭露矩阵方法的全部作用,但通过简单的例子帮助读者熟悉方法并领会他的优点。
2连续结构的矩阵分析方法
诸如建筑结构的连续结构很可能是高次静不定的,以致于在分析时要处理分析许多未知数。
解决这类问题的唯一的可行方法是求助于电子数字计算机。
并且为实现这个目的,矩阵陈述是最有利的。
为阐述这类问题的矩阵方法,我们以图(10.13)的二层结构框架来举例说明,尽管这个框架并没有使问题复杂的众多未知数,但在另一方面,它足以阐述清涵盖分析更大结构时所有的步骤、过程。
为简洁起见,我们假设每段梁的长为l,一样的弯曲刚度EI,因此硬度条件都是相等的,即k=EI/l是一样的。
作为一个一般练习,忽略轴应力和剪应力引起的变形,而仅仅考虑弯曲变形。
在这些假设前提下,在负载作用下的结构的变形完全由6个位移量决定。
即,两个水平位移δa,δb四个交点处的旋转角度θ1,θ2,θ3,θ4。
6个位移量求出来以后,所有末端力矩可通过力位移方程计算出,这个问题就解决了。
因此,我们介绍列向量
[δj]={δa,δb,θ1,θ2,θ3,θ4}(a)
并将这一系列位移量作为问题未知量。
图10.13
作为计算位移量的第一步,我们首先考虑图10.14举例说明了的2个简单的问题。
在图10.14a中,在两端固定的等截面梁AB的端点A作用一个位移δ,A没有任何旋转运动,B没有任何移动。
那么,A、B两点的反力根据方程(9.6)很容易就计算出了。
并且我们发现
Rab=12kθ/l2Mab=6kθ/lRab=12kθ/l2Mab=6kθ/l(b)
在图10.14b中,相同梁的端点A只有一个旋转角度θ,不允许A有任何侧面移动,端点B也没有任何移动。
接着,再使用应力--变形方程{9.6},我们发现
Rab=6kθ/lMab=4kθRab=6kθ/lMab=2kθ(b’)
图10.14
在方程(b)和(b'
)中,出现在δ和θ前面的系数代表梁端部的反力、力或约束,而此时位移δ和θ都是单位位移。
对应于梁中每一种类型的位移的量被称为刚度影响系数。
为了参考便利,这些刚度影响系数以矩阵形式标注图10.14的每根横梁下面。
现在,让我们回到图10.13的结构中,移去所有的已加负载,并且并交点处无传递和旋转。
完了后,我们移开与系统6个自由度之一相对应的任一约束,叫约束j,并给予单位位移δj=1。
这将导致与这个人为约束相一致的结构变形,接着我们计算出6个自由度对应的其余结果。
那就是说,在假定δj=1的情况下,计算出了支持结构系统所需要的外力和外力偶。
总的来说,在i处的反力不管是外力还是外力偶,我们都标记为外反应Sij,因此,刚度影响系数Sij定义为在在j处作用单位位移,其他位移均为0的情况下所需施加的外力。
在这个例子中将有36个这些刚度影响系数,我们现在利用图10.14所示的单根杆的刚度影响系数完成整个系统(刚度影响系数)的计算。
在图10.15a中,在单位位移δa=1时,即最高的地板的侧面的位移为一个单位移,所有的另外的位移均相等为零。
那么,支撑结构所要求的外部力标注在图中,并且其大小也列在结构旁边。
在这些计算中,我们规定线形位移和力向右为正,向左为负,角位移顺时针方向为正,反时针方向为负。
例如,Sba的计算,见图10.14a,我们看到每个顶层列的底部的反力。
图10.15a左部有2个如此的列并且(结果)是12k/l2;
因此,图上标注Sba=-24k/l2。
再考虑S4a的计算.由图10.14a的结果,图10.15a,列的4a的反作用力矩是反时针方向的,其大小为6k/l并且仅仅有一列;
因此,S4a=-6k/l。
读者应该自己检查其他的Sij的值。
下一步,在图10.15b中,设单位位移δb=1,即中间层的单元的一个单位水平位移,其他位移均相等为零。
那么,同上方法,使用图10.14a的刚度影响系数。
求出外反力Sij见图所示。
与应变模式θ1=1,θ2=1,θ3=1,θ4=1对应的诱导外力被标注在图10.15c,d,e,f,这就完成了整个结构的影响系数的计算。
现在就将这些刚度系数集中成方阵格式,叫做结构刚度矩阵。
行和列都按a,b,1,2,3,4的顺序写出。
那就成为
可以观察到这是一个对称矩阵,并且这种对称来自于协调理论的
有了上面矩阵(c)所示刚度影响系数以后,我们可以利用重叠原则计算出任何数据组合位移δj的条件下支持框架结构所需的外力。
例如,要求外力是
Fa=Saaδa+Sabδb+Sa1θ1+Sa2θ2+Sa3θ3+Sa4θ4
要求外力偶是
M1=S1aδa+S1bδb+S11θ1+S12θ2+S13θ3+S14θ4
等等。
然而,我们正在寻找那些在图10.13系统所示的外力作用下的位移的一系列值,那些力是是实实在在的结构负载。
真实的位移集合已在系统的代数方程中定义了
其中符号相反的ql/12和-ql/12表示梁34的端部力矩,即结点3和4各自的不平衡力矩。
介绍矩阵记法
{Fi}={PaPb0Qaql2/12-ql2/12}(d)
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