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3.1.1多期现金流量的终值假设在一个利率为8%的帐户中以后三年每年存入100元,那两年后将有多少钱?
第1年年末:
108元,加上第2年存入的100元,共有208元这208元在8%的帐户中存1年,到第2年年末,价值为:
利用时间线求多期现金流终值A.时间线:
B.累计终值:
图3-1:
时间线时间(年)现金流量100元100元012时间(年)现金流量100元100元终值合计108224.64208012例题3.1储蓄问题你觉得可以在接下来的3年的每一年年末,在一个利率为8%的银行账户中存入4000元,目前该账户已经有7000元,3年后你将拥有多少钱?
4年后呢?
例题3.1:
解答第1年年末,你将拥有:
第2年年末,你将拥有:
第3年年末,你将拥有:
第4年年末,你将拥有:
两种计算方法当我们计算多期存款的终值时,有两种计算方法:
计算每年年初的余额,然后再向前滚1年;
第2种方法是计算每一笔现金流量的终值,再把它们加总起来。
例题3.2:
投资问题考虑接下来的5年中每年年末投资2000元的终值,贴现率为10%。
01234520002000200020002000例题3.2:
解答第1年2000元的终值:
第2年2000元的终值:
第3年2000元的终值:
第4年2000元的终值:
第5年的终值:
3.2:
多期现金流量的现值我们经常需要确定一系列未来现金流量的现值,和求终值一样,我们可以采用两种方法:
要么每次贴现一期,要么分别算出现值,再全部加总起来。
例题3.3假如有一项投资将在未来5年的每年末支付1000元,贴现率为6%,要计算现值,可以将每一笔1000元贴现回来,再全部加总在一起。
也可以将最后一笔现金流量贴现至前一期,然后将它加总到前一期。
例题3.3:
解答10001234501000100010001000关于现金流量时点的说明现金流量100元200元300元时间(年)0123在求在求现值和终值时,现金流量的时点非常重要。
几乎所有这种计算中,都隐含地假设现金流量发生在每期期末。
实际上,所有的公式,现值表和终值表中,都假设现金流量发生在期末。
除非另有说明,否则假设就包含这个意思。
如假定一个3年期的投资,第1年的现金流量为100元,第2年的现金流量为200元,第3年的现金流量为300元,那么画出时间线,在没有别的信息时,应该如上图。
3.2均衡现金流量:
年金和永续年金我我们们经经常常遇遇到到的的情情况况是是多多期期现现金金流流量量,而而且且每每一一期期的的金金额额都都一一样样。
例例如如,非非常常普普遍遍的的住住房房贷贷款款和和汽汽车车贷贷款款要要求求借借款款人人在在某某段段时时间间,每每期期偿偿还还固固定定的的金金额额,而而且且通通常常是是每个月只付一次。
每个月只付一次。
3.2.1年金流量的现值一般来说,这种在固定期间内,发生在每一般来说,这种在固定期间内,发生在每期期末的一系列固定现金流量叫做年金期期末的一系列固定现金流量叫做年金(annuity)。
)。
由于年金在期末的现金流量由于年金在期末的现金流量是固定的,所以确定年金的价值时,有简便是固定的,所以确定年金的价值时,有简便的方法的方法。
3.2.1年金流量的现值假假设设以以后后三三年年每每年年年年末末收收到到1元元,使使用用10%的的贴贴现现率率,此此现现金金流流量量序序列列现现值值的的计计算算过过程为:
程为:
一年后收到一年后收到1元的现值元的现值=0.90909二年后收到二年后收到1元的现值元的现值=0.82645三年后收到三年后收到1元的现值元的现值=0.75131现金流量序列的现值现金流量序列的现值3.2.1年金流量的现值用这种方法在期数较少的情况下还不错,用这种方法在期数较少的情况下还不错,但我们经常遇到的情况是期数非常多,但我们经常遇到的情况是期数非常多,如,典型的住房贷款需要逐月付款如,典型的住房贷款需要逐月付款30年,年,总共付总共付360次。
如果我们想要确定这些付款次。
如果我们想要确定这些付款的现值,采用简便的方法帮助很大。
的现值,采用简便的方法帮助很大。
3.2.1年金流量的现值既既然然现现金金流流量量都都一一样样,就就可可以以利利用用基基本本现现值等式的一个变化形式。
值等式的一个变化形式。
当当报报酬酬率率或或利利率率为为r,持持续续期期为为t,每每期期C元元的年金现值是:
的年金现值是:
年金现值年金现值年金现值系数年金现值系数C后面的系数叫做后面的系数叫做年金现值系数年金现值系数,缩写为,缩写为年年金金现现值值系系数数看看起起来来复复杂杂,但但注注意意就就是现值系数,所以是现值系数,所以年金现值系数年金现值系数=(1-现值系数)现值系数)/r分期偿还贷款分期偿还贷款年金现值概念的一个重要应用就是确定分期年金现值概念的一个重要应用就是确定分期偿还贷款所需的偿付额。
在房贷、汽车贷偿还贷款所需的偿付额。
在房贷、汽车贷款等商业贷款中分期偿还贷款的情况很普款等商业贷款中分期偿还贷款的情况很普遍,其特点是以等额的方式定期偿还,一遍,其特点是以等额的方式定期偿还,一般是每月、每季、每半年或每年偿还一次,般是每月、每季、每半年或每年偿还一次,因此符合年金现值的定义。
我们举例来看因此符合年金现值的定义。
我们举例来看一下如何计算。
一下如何计算。
运用年金现值系数计算分期偿还贷款运用年金现值系数计算分期偿还贷款假假设设你你以以12%的的利利率率借借入入一一笔笔汽汽车车贷贷款款22000元元,要要在在未未来来的的6年年内内还还清清。
每每年年末末等额分期偿还一次,每次偿还额多少?
等额分期偿还一次,每次偿还额多少?
根根据据附附表表,查查贴贴现现率率12%的的6年年期期的的年年金金现现值值系系数数为为4.1114。
所所以以根根据据年年金金现现值值计计算算公公式:
式:
22000=4.1114CC=5351元元分期偿还贷款表分期偿还贷款表年末年末分期偿还额分期偿还额
(1)年末所欠本金年末所欠本金
(2)年息(年息(3)
(2)t-1r支付的本金支付的本金
(1)-(3)0123456-5351535153515351535153513210622000192891625312853904447780-2640231519511542108557310106-27113036340038094266477822000例题3.3:
求年金现值假设你的预算是在未来4年每月能支付700元,当前的月利率是1%,如果你想按揭一辆汽车,那么你可以为该汽车向银行申请多少贷款?
解答26581.8元就是你所能借得到,也能还得起的金额。
每年多次计复利情况下每年多次计复利情况下年金年金的现值的现值当年计复利大于当年计复利大于1时,必须按照与终值计算时,必须按照与终值计算公式相同的方式来修订年金现值公式。
在公式相同的方式来修订年金现值公式。
在每年一次复利时,现值的计算是通过用每年一次复利时,现值的计算是通过用(1+r)t去除未来现金流量,当每年计复利时,去除未来现金流量,当每年计复利时,现值就应该用公式:
现值就应该用公式:
多次计复利下的汽车贷款偿还多次计复利下的汽车贷款偿还假假设设上上例例,以以12%的的利利率率借借入入一一笔笔汽汽车车贷贷款款22000元元,要要在在未未来来的的4年年内内还还清清。
假假设设每每月等额分期偿还一次,每次偿还额多少?
月等额分期偿还一次,每次偿还额多少?
12%的的年年利利率率每每月月计计息息一一次次,则则月月息息为为1%,共有,共有412=48期期查现值系数表,得到查现值系数表,得到PVIF(1%,48)=1/(1+1%)48=0.7101多次计复利下的汽车贷款偿还多次计复利下的汽车贷款偿还根据年金现值系数计算公式根据年金现值系数计算公式,得到:
得到:
例题3.4:
求付款期数你在春节期间因为手头紧张,从信用卡里透支了1200元,每个月你只能付80元,假设信用卡的利率是每月2%,你需要多长时间才能还清这笔1200元的借款呢?
我们知道年金C是每月80元,利率r是每月2%,期数未知。
现值是1200元(你今天所借的钱)。
查现值系数表,发现2%利率下,第18期对应的系数为0.7。
所以需要大约1年半你能还清信用卡的贷款。
例题3.5:
求年金的贴现率保险公司提出,只要先一次性支付6710元,那么它就在10年中每年给你1000元。
这个10年期的年金所隐含的利率是多少呢?
解答本例中,已经知道现值6710元、年金1000元和时间10年,求利率。
查年金现值系数表,第10期这一行,发现8%的年金现值系数为6.7101。
因此,保险公司提供的是8%的报酬率。
3.2.2年金终值有年金现值系数就有年金终值系数。
根据公式:
例题3.6:
退休金假定计划每年将2000元存入利率为8%的退休金帐户,那么30年后退休时,将有多少钱呢?
这里,年数是30年,利率r是8%,可以计算年金终值系数如下:
3.2.4永续年金已经知道,一系列均衡现金流量被称为年金。
年金的一种重要的特例是现金流量无限地持续下去,这种情况叫做永续年金(perpetuity)。
永续年金的现值对上述求年金现值的公式求极限,当t趋向于无穷时,公式可以表达成如下:
永续年金优先股优先股(preferredstock)是永续年金的一个重要例子。
当一家公司发行优先股时,承诺就是持续地获得每期(通常是每季)的固定现金股利。
这种股利一般是在普通股利之前发放的,所以叫优先股。
例题3.7:
优先股股利假设公司想要以100元发行优先股,已经流通在外的类似优先股的每股价格是40元,每季发放1元的股利。
如果公司要发行这支优先股,它必须提供多少股利?
解答已发行的优先股的现值是40元,现金流是永续的1元,因此根据永续年金现值公式有:
要让现值等于100元,股利就必须为:
内内含含报酬率报酬率投资的内投资的内含含报酬率(报酬率(internalrateofreturnoryield),),也称内部收益率,是使项目预也称内部收益率,是使项目预期现金流出量的现值等于预期现金流入量期现金流出量的现值等于预期现金流入量现值的贴现率。
现值的贴现率。
内内含含报酬率报酬率假假设设第第t期期现现金金流流量量为为At,则则每每年年的的现现金金流流量之和公式为:
量之和公式为:
于是于是r就是使得未来现金流量序列就是使得未来现金流量序列(A1,A2,At)的现值等于第的现值等于第0期的初始现金支期的初始现金支出的贴现率。
出的贴现率。
求内含报酬率求内含报酬率假假定定一一个个投投资资机机会会,第第0期期需需现现金金支支出出18000元元,且且在在以以后后5年年中中,预预期期每每年年年年末末有有5600元元的的现现金金流流入入量量,请请问问内内部部报报酬酬率率是是多多少少?
这一问题可以表示为求以下等式的这一问题可以表示为求以下等式的r:
求内含报酬率求内含报酬率该方程与年金现值方程类似,因此求解
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