圆锥曲线题型归纳(经典含答案).doc
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椭圆题型总结(简单)
一、椭圆的定义和方程问题
(一)定义:
1.命题甲:
动点到两点的距离之和命题乙:
的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,则命题甲是命题乙的(B)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
2.已知、是两个定点,且,若动点满足则动点的轨迹是(D)
A.椭圆B.圆C.直线D.线段
3.已知、是椭圆的两个焦点,是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得,那么动点的轨迹是(B)
A.椭圆B.圆C.直线D.点
4.椭圆上一点到焦点的距离为2,为的中点,是椭圆的中心,则的值是4。
5.选做:
F1是椭圆的左焦点,P在椭圆上运动,定点A(1,1),求的最小值。
解:
7.
(1)抛物线C:
y2=4x上一点P到点A(3,4)与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________
(2)抛物线C:
y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为。
分析:
(1)A在抛物线外,如图,连PF,则,因而易发现,当A、P、F三点共线时,距离和最小。
(2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R三点共线时,距离和最小。
解:
(1)(2,)
连PF,当A、P、F三点共线时,最小,此时AF的方程为即y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2),(注:
另一交点为(),它为直线AF与抛物线的另一交点,舍去)
(2)()
过Q作QR⊥l交于R,当B、Q、R三点共线时,最小,此时Q点的纵坐标为1,代入y2=4x得x=,∴Q()
点评:
这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。
8、F是椭圆的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P为椭圆上一动点。
(1)的最小值为
(2)的最小值为
分析:
PF为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径或准线作出来考虑问题。
解:
(1)4-
设另一焦点为,则(-1,0)连A,P
当P是A的延长线与椭圆的交点时,取得最小值为4-。
(2)作出右准线l,作PH⊥l交于H,因a2=4,b2=3,c2=1,a=2,c=1,e=,
∴
∴
当A、P、H三点共线时,其和最小,最小值为
(二)标准方程求参数范围
1.试讨论k的取值范围,使方程表示圆,椭圆,双曲线。
(略)
2.(C)
A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3.若方程表示焦点在y轴上的椭圆,所在的象限是(A)
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.方程所表示的曲线是椭圆的右半部分.
5.已知方程表示焦点在X轴上的椭圆,则实数k的范围是k>1
(三)待定系数法求椭圆的标准方程
1.根据下列条件求椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别为(0,5)和(0,-5),椭圆上一点到两焦点的距离之和为26;
(2)长轴是短轴的2倍,且过点(2,-6);
(3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点,求椭圆方程.
2.简单几何性质
1.求下列椭圆的标准方程
(1);
(2)过(3,0)点,离心率为。
(3)椭圆的对称轴为坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆的最近距离是。
(4)椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3,则椭圆的标准方程为
(5)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。
3.过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若,则椭圆的离心率为_____________________
(四)椭圆系————共焦点,相同离心率
1.椭圆与的关系为(A)
A.相同的焦点B。
有相同的准线C。
有相等的长、短轴D。
有相等的焦距
2、求与椭圆有相同焦点,且经过点的椭圆标准方程。
(五)焦点三角形4a
1.已知、为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于、两点。
若,则8。
2.已知、为椭圆的两个焦点,过且斜率不为0的直线交椭圆于、两点,则的周长是20。
3.已知的顶点、在椭圆上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边上,则的周长为。
(六)焦点三角形的面积:
1.已知点是椭圆上的一点,、为焦点,,求点到轴的距离。
解:
设则解得,所以求点到轴的距离为
2.设是椭圆上的一点,、为焦点,,求的面积。
解:
当,S=
3.已知点是椭圆上的一点,、为焦点,若,则的面积为。
4.已知AB为经过椭圆的中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB的面积的最大值为cb。
(七)焦点三角形
1.设椭圆的两焦点分别为和,为椭圆上一点,求的最大值,并求此时点的坐标。
2.椭圆的焦点为、,点在椭圆上,若,则2;120O。
3.椭圆的焦点为、,为其上一动点,当为钝角时,点的横坐标的取值范围为。
4.P为椭圆上一点,、分别是椭圆的左、右焦点。
(1)若的中点是,求证:
;
(2)若,求的值。
解:
(1)MO为三角形PF1F2的中位线,
(2)=
(八)与椭圆相关的轨迹方程
定义法:
1.点M(x,y)满足,求点M的轨迹方程。
()
2.已知动圆过定点,并且在定圆的内部与其相内切,求动圆圆心的轨迹方程.
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