方波分解为多次正弦波之和Word文件下载.docx

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根据三角傅里叶级数：

t1t1+Tcos2nωtdt=t1t1+Tsin2nωtdt=T2

（1）

t1t1+Tcosmωtcosnωtdt=t1t1+Tsinmωtsinnωtdt=0,m≠n

（2）

t1t1+Tsinmωtcosnωtdt=0m、n为任何整数（3）

对于任何一个周期为T的周期信号f（t），都可以求出它在上述各函数中的分量，从而将此函数在区间（t1，t1+T）内表示为

ft=a02+a1cosωt+a1cos2ωt+…+ancosnωt+…+b1sinωt+b2sin2ωt+…+bnsinnω+…=a02+n=1∞[ancosnωt+bnsin⁡（nωt）]（4）

这就是函数f（t）在上述区间内的三角傅里叶级数表达式。

方波函数表达式：

ft=10<

t<

T/2ftT/2<

T（5）

先把这个函数展开为三角级数，为此就要求出分量系数a和b。

a0=2T0Tf（t）dt=2T0T2dt-T2Tdt=0（6）

an=2T0Tf（t）cos⁡（nωt）dt=2T0T2cosnωtdt-T2Tcosnωt=0（7）

bn=2T0Tf（t）sin⁡（nωt）dt=2T0T2sinnωtdt-T2Tsinnωtdt=4nπ当n为奇数0当n为偶数（8）

因此，该非周期性方波在区间（0，T）内可以表示为

ft=4π[sinωt+13sin3ωt+15sin5ωt+…]（9）

3建立模型描述

分别作出各次谐波的波形

根据公式（9）令ω=1

利用Matlab画出方波波形

与方波比较

将各波形图叠加作图

分别作出不同次谐波叠加后的波形

得出结论：

方波可以分解为多次正弦波之和

4模块功能分析或源程序代码

figure

（1）

ts=0.0001;

t=0:

ts:

4*pi;

%t的取值范围为0到4*pi，间隔0.0001取一个点

f=1/ts;

N=length（t）;

y1=square（0.32*pi*t）;

%产生一个方波

plot（t,y1）;

title（'

产生一个方波'

）;

pause

holdon

figure

（2）

subplot321

y2=4/pi*sin（t）;

%频率为1（f=1/2*pi）的正弦基波%

plot（t,y2）;

正弦基波'

）

subplot322

y3=4/pi*（sin（3*t）/3）;

%三次谐波

plot（t,y3）;

三次谐波'

subplot323

y4=4/pi*（sin（5*t）/5）;

%五次谐波

plot（t,y4）;

五次谐波'

subplot324

y5=4/pi*（sin（7*t）/7）;

%七次谐波

plot（t,y5）;

七次谐波'

subplot325

y6=4/pi*（sin（9*t）/9）;

%九次谐波

plot（t,y6）;

九次谐波'

figure（3）

subplot221

y7=4/pi*（sin（t）+sin（3*t）/3）;

%将前两次谐波叠加

plot（t,y7）;

前两次谐波叠加'

subplot222

y8=4/pi*（sin（t）+sin（3*t）/3+sin（5*t）/5）;

%将前三次谐波叠加

plot（t,y8）;

前三次谐波叠加'

subplot223

y9=4/pi*（sin（t）+sin（3*t）/3+sin（5*t）/5+sin（7*t）/7+sin（9*t）/t）;

%将前五次谐波叠加

plot（t,y9）;

前五次谐波叠加'

%重新定义y，把各次波形数据存为一个三维数组

y=zeros（10,max（size（t）））;

x=zeros（size（t））;

fork=1:

2:

15

x=x+4/pi*（sin（k*t）/k）;

y（（k+1）/2,:

）=x;

end

%将各波形叠合绘出

pause,figure（4）,plot（t,y（1:

9,:

））,

各波形叠合'

5调试过程及结论

5.1调试过程

在调试过程中，编写方波时由于当时没有注意方波扫描的精确度，将ts的数值选取的过于大了而导致方波的波形出现了大的失真，经过反复几次的调试后终于得出了一个比较理想的方波图形。

由于在设计之初是要将方波与后来要形成的多次正弦波叠加后的波形放到一起，所以对于方波周期的选取以及方波振幅的确定也尝试了好多次。

最终才将这两个数值确定下来。

本事课程设计的目的是要证明方波能够分解为多次正弦波之和，所以程序的设计目的在于体现分解的过程以及最后n次谐波叠加后所形成的波形是否为方波。

根据上述公式9得出的方波表达式，令ω=1后分别画出y=4/pi*sin（t）的正弦基波、y=4/pi*（sin（3*t）/3）的三次谐波、y=4/pi*（sin（5*t）/5）的五次谐波、y=4/pi*（sin（7*t）/7）的七次谐波以及y=4/pi*（sin（9*t）/9）的九次谐波，为了能够充分的显示风波分解为多次正弦波之和的过程，又分别作出了前两、三、五次谐波叠加的波形。

最后为了能够完美的证明方波分解为多次正弦波之和，利用了一个for循环语句画出了经过前n次谐波叠加后的波形（其中令n=15），并且与之前程序最开始画出的方波波形相互叠加。

由于经过三角级数傅里叶分解得到的方波表达式是一个非周期性函数，故只有当无限次谐波叠加后才能形成正真的方波，所以本次的实验是存在一定的误差的，本想在程序中作出其误差的图形表示以及计算出不同次数的方波叠加形成的方波所造成的误差，但由于知识以及能力有限，经过多次尝试无果后放弃了计算误差这部分项目。

造成了一定的遗憾。

5.2结论

经过此次的实验，充分的证明了方波能够分解为多次正弦波之和，叠加次数越多误差越小越接近方波真实的波形。

所得波形如下所示：

图5-1方波波形

图5-2各次谐波波形

图5-3叠加后的波形

图5-4前n次叠加后的波形

6心得体会

通过此次的课程设计可以知道利用Matlab所得出的结果与利用理论知识通过计算得出的结果是一样的，方波，正弦波，以及正弦波叠加后的波形都能够利用程序编写出来的，并且通过利用Matlab所得出的波形能够很清晰的表达出各个波形的物理意义。

Matlab是一款非常强大非常实用的软件，利用Matlab我们不仅能够证明许多数学上的问题，而且许多我们通过理论知识所无法计算的问题都能够解决，比如说我们这次的课程设计，通过人工计算我们能够得出方波的公式，但是这个公式却是一个非周期性的，我们无法准确的算出方波的波形。

但是利用Matlab却是能够做到。

通过利用Matlab进行仿真，仅仅用一个循环语句就能够让我们的波形无限的接近方波的真实波形，而且我们还能利用Matlab计算出不同次正弦波叠加后所产生的误差并且通过图形模式表示出来以及我们还可以通过建立一个三维坐标模型将方波分解为多次正弦波之和的趋势表示出来，使我们更加直观的了解方波是如何分解为多次正弦波之和的。

这次的课程设计让我真的很难忘，经过两个多星期的努力，终于顺利完成了课程设计。

开始做课程设计不知道从何入手，困难很多，经过查阅资料，和同学讨论，终于了解了许多。

在做课程设计的过程中，我学会了很多，最主要的是我对Matlab的运用更加熟练了，同时对信号这门课的知识又弄懂了不少，增加了对信号课程的学习兴趣。

课程设计是每个大学生必须面临的一项综合素质的考验，如果说在我们的学习阶段是一个知识的积累过程，那么现在的课程设计就是对过去所学的知识的综合应用，是对理论进行深化和重新认识的实践活动。

在这期间，我们有艰辛的付出，当然也有丰收的喜悦。

首先，学习能力和解决问题的信心都得到了提高。

通过这次课程设计，我不仅对理论有了更深一步的认识，还培养了自学能力和解决问题的能力，更重要的是，培养了克服困难的勇气和信心。

7参考文献

[1]吴大正.信号与线性系统分析（第四版）.北京:

高等教育出版社.2010

[2]刘卫国.MATLAB程序设计教程（第二版）.北京：

中国水利水电出版社.2010

[3]梁虹,梁洁,陈跃斌.信号与线性系统分析及MATLAB实现.北京：

电子工业出版社.2002

[4]韩利竹,王华.MATLAB电子仿真与应用[M].北京:

国防工业出版社,2001.

[5]陈怀,高西全.MATLAB及在电子信息课程中的应用[M].北京:

电子工业出版社,2003.

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