函数的连续性的例题与习题一.docx
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函数的连续性的例题与习题一.docx
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函数的连续性的例题与习题一
函数的连续性的例题与习题
(一)
函数的连续性的例题与习题
函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目,大致有3大类。
第一类是计算或证明连续性;第二类是对间断点(或区间)的判断,包括间断点的类型;第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质(最值性质,零点存在性质),进行理论分析。
下面就这三大类问题,提供若干例题和习题。
还是那句老话:
看到题目不要看解答,而是先思考先试着做!
这是与看文学小说的最大区别。
要提醒的是,例题里有不少是《函数连续性
(一)
(二)》中没有给出解答的例题,你事先独立做了吗?
如果没有做,是不会做好是根本不想做,还是没有时间?
一.函数的连续
例1.1(例1.20
(一),这个序号值的是《函数连续性
(一)中的例题号,请对照)
设满足,且在连续。
证明:
在任意点处连续。
分析:
证明题是我们很多同学的软肋,不知道从何下手。
其实,如果你的基本概念比较清晰,证明题要比计算题号做,因为它有明确的方向,不像计算题,不知道正确的答案是什么
在本题里,要证的是“在任意点处连续”,那么我们就先固定一个点,用函数连续的定义来证明在处连续。
你可能要问:
函数连续的定义有好几个,用哪一个?
这要看已知条件,哪个容易用,就用那一个。
在本题中,提供了条件,也就是,你的脑海里就要想到,如果设,那么就有;这个时候,你应该立即“闪过”,要用题目给的第二个条件了:
在连续!
它意味着:
。
证明的思路就此产生!
证明:
因为,取,则有,所以。
(#)
对于固定的(任意的!
),若取,有
,
分析:
首先要注意,函数不是平常的形式,用一个明显的解析式表达出来,本题用一个极限形式来表示一个函数。
所以它要求先写出的分段表达式,这是本题的第一个任务;第二,要确定参数的数值,怎么确定呢?
利用函数的连续性。
这里需要计算极限的基本功。
中出现了几个幂函数,根据幂函数的性质,的大小对幂函数的变化趋势有根本性的影响,所以要分为进行讨论。
所以本题的第一层考核的是对幂函数的认识与理解。
(1):
都趋于零(当时),所以
。
(2):
此时都将趋于无穷大。
为此,要从分子,分母中提出最大项,约去相应的部分,来简化函数:
。
(3):
;
(4):
,极限不存在。
故得。
欲使连续,即使在连续,等价于,故。
例1.3(例1.22
(一))证明连续函数的局部保号性:
设在处连续,且,那么存在,当时,。
分析:
这个性质公式我们一个事实,若连续函数在某点的函数值为正,那么在这个点附近的点的函数值也是正的,不会取负值。
这就是说,连续函数的函数值有“惯性”。
证明的过程很容易很简单,其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。
证明:
因为在处连续,所以对任给的,总存在,使得当时,恒有,也就是。
(+)
若取,在(+)式中取左边的那个不等式,就有;
若取,那么就有。
(不过,此时的中的要变小)
当然,你也可以取不同的,当然要变。
如果我们只需要证实的值为正,那么取就已经够了。
例1.4(例1.23
(一))设在区间上连续并大于零,证明在也连续。
分析:
我们需要证明的是:
在上任取点,对任给的,存在一个,使当时,
有。
直接做下去,是有困难的,所以我们需要对上述不等式做点放大(这是一个基本功!
):
注意,上面第一个不等号是因为我们在例1.3中,已经证明了在的一个邻域中有!
至此,一个完整的证明思路就形成了。
证明:
对任一,,是的连续点。
由局部保号性,存在的邻域,使得。
所以在这个邻域中,
;
由在区间上的连续性知,对于任给,存在,使得当时,有
。
我们取,那么在这个更小的邻域中,(即)有
,
则有函数的连续的定义知,是函数的连续点;又由的任意性,得在区间也连续。
例1.5确定之值,使函数在内连续。
解:
在和两个区间里,对应的函数均为初等函数,它们都是连续函数。
所以,要使在整个实数域中连续,只需确定在的连续性条件。
在有定义,所以我们只需考虑它在的极限。
;
由此得方程,容易解得:
,
而对参数,连续性条件对它没有任何限制,所以可取任何实数。
例1.6设,,求之值,使在实数域上连续。
解:
两个函数的定义域不同,所以它们之和这个新函数的定义域需要加以明确。
显然,需要考虑3个区间:
:
。
现在可以对2个分界点处的连续性条件做研究了(定义问题已经解决):
,
,
故有方程,
(1)
又,
,
又有方程,
(2)
联立
(1)
(2),解得。
练习题1设满足条件:
,有,且在处连续。
求证在整个实数域连续。
练习题2设,,求之值,使在实数域上连续。
二.函数的间断点
这里的基本概念是间断点的类型和分类。
请自己整理整理的内容。
例2.1考察函数的间断点,判别其类型。
解:
函数在有定义,但是,,所以在的左,右极限虽然存在,但不相等,故属于跳跃间断点(第一类)。
例2.2考察函数的间断点,判别其类型。
解:
函数在有定义,但不存在,这是因为时,,不存在;
又,这是因为在极限过程中是有界量,。
所以是函数的第二类间断点。
例2.3求下列函数的间断点,确定其类型,瑞为可去间断点,则请补充定义,使它连续。
(1);
(2)。
解:
(1)都是使函数没有定义的点,故是间断点。
由于,所以是函数的无穷间断点(第二类)。
又,
是个确定的值,极限存在,所以是可移去间断点,加以补充定义:
后函数在连续。
但是要注意的是,仍然是函数的无穷间断点(第二类),函数在仍然间断。
(2)显然,是使函数没有定义的点,所以是间断点。
,
故是无穷间断点(第二类)。
,
故是可去间断点(第一类),补充定义后,函数在连续。
,
可见也是可去间断点(第一类),补充定义后,函数在连续。
例2.4讨论下列函数的间断点:
(1);
(2)。
解:
(1)使函数无定义(对无定义,故函数本身也无定义),故为间断点。
,(因为)
,(因为)
左,右极限存在,却不相等,故是跳跃型间断点(第一类)。
(2)处没有定义,故为间断点。
,
,
可见,处函数的左,右极限都存在,且相等,故是可去间断点(第一类)。
例2.5根据的不同数值,讨论在处的连续性,若间断,判别属于何种间断点:
。
解:
,(请你讲出理由)
,
且
所以,当,且时,在的左,有极限存在且相等,并等于函数值,故函数在连续;
当,且时,在间断,左,右极限存在但不相等,故属于跳跃间断点;
当时,在左连续,右间断,故属于第二类间断点。
例2.6(1998年考研题数二)求函数在区间内的间断点,并判别其类型。
解:
当时,使成为无穷大,没有定义,故是的间断点;
因为,故;
,故,
所以,在间断点,函数的极限存在,是第一类间断点。
又因当时,,使得没有定义,从而函数在这些点没有定义,因此也是函数的间断点。
,故;
,故
所以,间断点属于第二类间断点。
例2.7(2001年考研题数二)求极限,记此极限为,求出的间断点,并指出其间断点的类型。
分析:
本题不是单纯讨论间断问题,首先要计算一个极限,得出函数。
解:
至此,可以看出这是一个型的极限。
这是我们已经很熟悉的问题了,做下去——
。
所以下面我们讨论函数的间断点。
显然,使的点是使得没有定义的点,即是的间断点。
因为,
,
所以,是第一类间断点,而是第二类间断点。
练习题3设在处连续,求参数之值。
练习题4设在上连续,且,则常数应满足():
A.;B.;C.;D..
练习题5(1995年考研题数二)设和在上有定义,为连续函数,且,
有间断点,则():
A.必定有间断点;B.必定有间断点;
B.必定有间断点;D.必定有间断点。
(请你举出例子来验证你的结论)
练习题6(1998年考研题数四)设函数,讨论的间断点,结论为()
A.不存在间断点;B.存在间断点;C.存在间断点;D.存在间断点
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