最新高考数学周周测6解三角形与平面向量综合测试Word格式文档下载.docx
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C.等腰三角形D.等腰直角三角形
7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA=b,且a>
b,则B=( )
A.B.C.D.
8.已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b,若u∥v,则实数k的值为( )
A.-1B.-C.D.1
9.(2017·
湖北八校联考
(二))已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,-2),若(a-c)∥b,则向量a与向量c的夹角的余弦值是( )
A.B.C.-D.-
10.(2017·
新疆二检)已知向量a,b满足a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则实数λ的值为( )
A.B.-C.±
D.1
11.钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=( )
A.5B.C.2D.1
12.(2017·
福建质检)平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,·
=4,点P在边CD上,则·
的取值范围是( )
A.[-1,8]B.[-1,+∞)C.[0,8]D.[-1,0]
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.
13.在△ABC中,A=60°
,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于________.
14.已知平面内不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=________.
15.设=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),a>
0,b>
0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则+的最小值为________.
16.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列.若sinB=,cosB=,则a+c的值为________.
三、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N,若=m,=n,求m+n的值.
18.(本小题满分12分)
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S是△ABC的面积,tanB=.
(1)求B的值;
(2)设a=8,S=10,求b的值.
19.(本小题满分12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=,tan=-.
(1)求角C;
(2)若b-c=-,求△ABC的面积.
20.(本小题满分12分)
已知向量a=(1,2),b=(-2,1),k,t为正实数,x=a+(t2+1)b,y=-a+b.
(1)若x⊥y,求k的最大值;
(2)是否存在k,t,使x∥y?
若存在,求出k的取值范围;
若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),m·
n=sin2C,其中A,B,C为△ABC的内角.
(1)求角C的大小;
(2)若sinA,sinC,sinB成等差数列,且·
(-)=18,求AB的长.
22.(本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin.
(1)求sinC的值;
(2)若a2+b2=4(a+b)-8,求c的值.
周周测6 解三角形与平面向量综合测试
1.B 根据正弦定理=,得=,∴sinB=,
∴B=或.
2.C ∵AC2+BC2≥2AC·
BC,∴AC·
BC≤4.∵cosC=,∴cosC≥,∴0°
<
C≤60°
.∵S=AC·
BC·
sinC,∴由不等式的性质可知当AC=BC=2时,面积S有最大值,Smax=×
2×
=,故选C.
3.C 根据题意画出图像,利用向量的加减运算,得到:
==(+)=(+)=(5e1+3e2).
4.B 由已知得M,G,N三点共线,∴=λ+(1-λ)=λx+(1-λ)y,∵点G是△ABC的重心,∴=×
(+)=(+),∴,即,得+=1,
即+=3,通分变形得,=3,∴=.
优解(特例法) 利用等边三角形,过重心作平行于底边BC的直线,易得x=,y=,∴=.
5.D 设AB=xm,则BD=xm,BC=xm.在△DBC中,∠BCD=120°
,CD=40m,由余弦定理BD2=BC2+CD2-2BC·
CD·
cos∠DCB,得(x)2=x2+402-2×
x×
40×
cos120°
.整理得x2-20x-800=0,解得x=40或x=-20(舍).所以所求塔高为40m,故选D.
6.C
解析:
设△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c.如图,在△ABD中,AD2=c2+BD2-2c·
BDcosB.又∵DC=a-BD,代入已知等式,得c2=c2+BD2-2c·
BD·
cosB+BD·
(a-BD),化简得cosB=.
又∵cosB=,∴=,化简得b=c.∴△ABC一定是等腰三角形,故选C.
7.A 根据正弦定理,得asinBcosC+csinBcosA=b等价于sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=,∴sinB=.
又∵a>
b,∴B=,故选A.
8.B ∵u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k),
v=(2,4)-(0,1)=(2,3),
又u∥v,∴1×
3=2(2+k),得k=-.故选B.
9.A 由已知得a-c=(3-k,3),∵(a-c)∥b,
∴3(3-k)-3=0,∴k=2,即c=(2,-2),∴cos〈a,c〉===.
10.A ∵3a+2b与λa-b垂直,∴(3a+2b)·
(λa-b)=0,即3λa2+(2λ-3)a·
b-2b2=0,又a⊥b,∴12λ+0-18=0,解得λ=.
11.B ∵S=AB·
BCsinB=×
1×
sinB=,
∴sinB=,∴B=或.
当B=时,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·
BCcosB=1+2+2=5,∴AC=,此时△ABC为钝角三角形,符合题意;
BCcosB=1+2-2=1,
∴AC=1,此时AB2+AC2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意.故AC=.
12.A 由题意得·
=||·
||·
cos∠BAD=4,解得∠BAD=.以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(5,),D(1,),因为点P在边CD上,所以不妨设点P的坐标为(a,)(1≤a≤5),则·
=(-a,-)·
(4-a,-)=a2-4a+3=(a-2)2-1,则当a=2时,·
取得最小值-1,当a=5时,·
取得最大值8,故选A.
13.2
如图所示,在△ABC中,由正弦定理,得=,解得sinB=1,所以B=90°
.所以S△ABC=×
AB×
2=×
×
2=2.
14.2
由已知得-=2(-),即=2,
∴||=2||,∴=2.
15.8
=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2).∵A,B,C三点共线,∴∥,∴2(a-1)-(-b-1)=0,∴2a+b=1,∴+=(+)(2a+b)=4++≥4+2=8,当且仅当=,即a=,b=时取等号,∴+的最小值为8.
16.3
∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.∵sinB=,cosB=,∴ac=13,
∴b2=a2+c2-2accosB,∴a2+c2=37,∴(a+c)2=63,∴a+c=3.
17.解析:
解法一:
连接AO,由于O为BC的中点,
故=(+),=-=(+)-=+,
同理=+.5分
由于向量,共线,
故存在实数λ使得=λ,
即+=λ,
由于,不共线,
故得-=λ且=λ,
消去λ,得(m-2)(n-2)=mn,
化简即得m+n=2.10分
解法二:
连接AO,∵O是BC的中点,
∴=(+).4分
又∵=m,=n,
∴=+.
∵M、O、N三点共线,
∴+=1.∴m+n=2.10分
18.解析:
(1)∵tanB=,
∴bsinA·
sinB=(2a-c+bcosA)cosB,
∴sinAsin2B=(2sinA-sinC+sinBcosA)cosB,
∴sinAsin2B-sinBcosAcosB=2sinAcosB-sinCcosB,
∴-sinBcos(A+B)=2sinAcosB-sinCcosB.
∵A+B+C=180°
.
∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,
∴sin(B+C)=2sinAcosB.
,∴sinA=2sinAcosB.
又∵sinA≠0,∴cosB=,
∵0<
B<
π,∴B=.8分
(2)∵a=8,B=,S=10,B=,
∴S=acsinB=2c=10,∴c=5.
∴b2=a2+c2-2accosB=64+25-2×
8×
5×
=49,∴b=7.12分
19.解析:
(1)∵B=,∴0<
A<
π,∴<
A+<
π.
∵tan=-,∴A+=,∴A=.
∴C=.6分
(2)∵sinB=,sinC=,∴bc=.
∵b-c=-,∴b=,c=.
sinA=sin(B+C)=.
∴S△ABC=bcsinA=×
=.12分
20.解析:
x=(1,2)+(t2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3),y=(--,-+).
(1)若x⊥y,则x·
y=0,即(-2t2-1)(--)+(t2+3)(-+)=0,
整理得,k==≤,当且仅当t=,即t=1时取等号,∴kmax=.6分
(2)假设存在正实数k,t,使x∥y,则(-2t2-1)(-+)-(t2+3)(--)=0,
化简得+=0,即t3+t+k=0.
因为k,t是正实数,故满足上式的k,t不存在,所以不存在k,t,使x∥y.12分
21.解析:
(1)m·
n=sinA·
cosB+sinB·
cosA=sin(A+B),
在△ABC中,A+B=π-C,0<
C<
π,∴sin(A+B)=sinC,
∴m·
n=sinC.
又∵m·
n=sin2C,∴sin2C=sinC,cosC=,
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