平行四边形 全章热门考点整合应用Word下载.docx
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四边形ADFE是平行四边形.
(第3题)
矩形
4.如图,在▱ABCD中,点O是AC与BD的交点,过点O的直线与BA的延长线,DC的延长线分别交于点E,F.
△AOE≌△COF.
(2)连接EC,AF,则EF与AC满足什么数量关系时,四边形AECF是矩形?
请说明理由.
(第4题)
菱形
5.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,过点E作EF∥AB,交BC于点F.
四边形DBFE是平行四边形.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?
为什么?
(第5题)
正方形
6.如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,先把△ABC绕点B顺时针旋转90°
后至△DBE,再把△ABC沿射线AB平移至△FEG,DE,FG相交于点H.
(1)判断线段DE,FG的位置关系,并说明理由;
(2)连接CG,求证:
四边形CBEG是正方形.
(第6题)
四个判定与性质
7.如图,E,F分别是▱ABCD的AD,BC边上的点,且AE=CF.
△ABE≌△CDF;
(2)若M,N分别是BE,DF的中点,连接MF,EN,试判断四边形MFNE是怎样的四边形,并证明你的结论.
(第7题)
8.【中考·
湘西州】如图,在▱ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.求证:
(1)△ADE≌△CBF;
(2)四边形DEBF为矩形.
(第8题)
9.如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点,且AE=AC,EF∥BC交AD于点F.
四边形CDEF是菱形.
(第9题)
10.如图,E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点,DE交AC于点F,交BC于点G,H为GE的中点.
FB⊥BH.
(第10题)
四个技巧
解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)
11.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,点E,F分别在AB,CD上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A,D分别落在矩形ABCD外部的点A1,D1处,求阴影部分图形的周长.
(第11题)
解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)
12.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点,如果两个正方形的边长都等于1,那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动,两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律?
(第12题)
解与四边形有关的动点问题的技巧(固定位置法)
13.如图,在边长为10的菱形ABCD中,对角线BD=16,对角线AC,BD相交于点G,点O是直线BD上的动点,OE⊥AB于E,OF⊥AD于F.
(1)求对角线AC的长及菱形ABCD的面积.
(2)如图①,当点O在对角线BD上运动时,OE+OF的值是否发生变化?
(3)如图②,当点O在对角线BD的延长线上时,OE+OF的值是否发生变化?
若不变,请说明理由;
若变化,请探究OE,OF之间的数量关系.
(第13题)
解中点四边形的技巧
14.如图,在△ABC中,AB=AC,点O在△ABC的内部,∠BOC=90°
,OB=OC,D,E,F,G分别是AB,OB,OC,AC的中点.
四边形DEFG是矩形;
(2)若DE=2,EF=3,求△ABC的面积.
(第14题)
两种思想
转化思想
15.如图,在四边形ABCD中,∠C=90°
,∠ABD=∠CBD,AB=CB,P是BD上一点,PE⊥BC,PF⊥CD,垂足分别为点E,F.求证:
PA=EF.
(第15题)
数形结合思想
16.[阅读]
在平面直角坐标系中,以任意两点P(x1,y1),Q(x2,y2)为端点的线段的中点坐标为.
[运用]
(1)如图,矩形ONEF的对角线相交于点M,ON,OF分别在x轴和y轴上,O为坐标原点,点E的坐标为(4,3),则点M的坐标为________;
(2)在平面直角坐标系中,有A(-1,2),B(3,1),C(1,4)三点,另有一点D与点A,B,C构成平行四边形的顶点,求点D的坐标.
(第16题)
答案
1.证明:
(1)∵点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,
∴EF∥AC且EF=AC,GH∥AC且GH=AC,EH∥BD,
∴EF∥GH且EF=GH,∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵AC⊥BD,∴EF⊥EH.∴▱EFGH是矩形.
(2)∵点E,P,G,Q分别为AB,AC,DC,DB的中点,
∴EP=BC,PG=AD,GQ=BC,QE=AD.
∵AD=BC,∴EP=PG=GQ=QE,
∴四边形EQGP是菱形.
点拨:
在三角形中出现两边中点,常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系.
2.证明:
(1)∵点D,E分别是AB,BC的中点,∴DE∥AC.同理可得EF∥AB.
∴四边形ADEF是平行四边形.
(2)由
(1)知四边形ADEF是平行四边形,
∴∠DAF=∠DEF.
在Rt△AHB中,∵D是AB的中点,
∴DH=AB=AD,
∴∠DAH=∠DHA.
同理可得HF=AC=AF,
∴∠FAH=∠FHA.
∴∠DAH+∠FAH=∠DHA+∠FHA.
∴∠DAF=∠DHF.
∴∠DHF=∠DEF.
3.证明:
(1)∵在Rt△ABC中,∠BAC=30°
,∴AB=2BC.
∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,
∴AE=AB,AB=2AF,∴AF=BC.
在Rt△BCA和Rt△AFE中,
∴Rt△BCA≌Rt△AFE(HL),
∴AC=EF.
(2)∵△ACD是等边三角形,
∴∠DAC=60°
,AC=AD,
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
.
又∵EF⊥AB,∴∠EFA=90°
=∠DAB.∴EF∥AD.
∵AC=EF,AC=AD,∴EF=AD.
∴四边形ADFE是平行四边形.
4.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD,
∴∠AEO=∠CFO.
在△AOE和△COF中,
∴△AOE≌△COF(AAS).
(2)解:
当AC=EF时,四边形AECF是矩形.
理由如下:
由
(1)知△AOE≌△COF,∴OE=OF.
∵AO=CO,
∴四边形AECF是平行四边形.
又∵AC=EF,∴四边形AECF是矩形.
5.
(1)证明:
∵D,E分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC.
又∵EF∥AB,
∴四边形DBFE是平行四边形.
当AB=BC时,四边形DBFE是菱形.
理由:
∵D是AB的中点,
∴BD=AB.
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE=BC.
又∵AB=BC,∴BD=DE.
又∵四边形DBFE是平行四边形,
∴四边形DBFE是菱形.
6.
(1)解:
DE⊥FG.理由如下:
由题意,得∠A=∠EDB=∠GFE,∠ABC=∠DBE=90°
,
∴∠EDB+∠BED=90°
∴∠GFE+∠BED=90°
∴∠FHE=90°
,即DE⊥FG.
(2)证明:
∵△ABC沿射线AB平移至△FEG.
∴CB∥GE,CB=GE.
∴四边形CBEG是平行四边形.
∵∠ABC=∠GEF=90°
∴四边形CBEG是矩形.
∵BC=BE,
∴四边形CBEG是正方形.
7.
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,∠A=∠C.
∵AE=CF,∴△ABE≌△CDF(SAS).
四边形MFNE是平行四边形.证明如下:
∵△ABE≌△CDF,
∴∠AEB=∠CFD,BE=DF.
又∵M,N分别是BE,DF的中点,
∴ME=FN.
∴BC∥AD,∴∠AEB=∠FBE.
∴∠CFD=∠FBE.
∴EB∥DF,即ME∥FN.
∴四边形MFNE是平行四边形.
规律总结:
本题是一道猜想型问题,先猜想结论,再证明结论.本题已知一个四边形是平行四边形,借助其性质,利用平行四边形的判定方法判定另一个四边形是平行四边形.
8.证明:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AD=CB.又∵DE⊥AB,BF⊥CD,∴∠DEA=∠BFC=90°
∴△ADE≌△CBF.
(2)∵△ADE≌△CBF,∴AE=CF.
∵CD=AB,∴DF=BE.
又∵CD∥AB,
∴四边形DEBF为平行四边形.
又∵∠DEB=90°
∴四边形DEBF为矩形.
(第9题)
9.证明:
如图,连接CE,交AD于点O.
∵AC=AE,
∴△ACE为等腰三角形.
∵AO平分
∠CAE,
∴AO⊥CE,且OC=OE.
∵EF∥CD,
∴∠2=∠1.
又∵∠DOC=∠FOE,
∴△DOC≌△FOE(ASA).
∴OD=OF.
即CE与DF互相垂直且平分,
∴四边形CDEF是菱形.
10.证明:
∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=CB,∠DCF=∠BCF=45°
DC∥AE,∠CBE=90°
∴∠CDF=∠E.
又∵CF=CF,∴△DCF≌△BCF.
∴∠CDF=∠CBF.∴∠CBF=∠E.
∵H为GE的中点,
∴HB=HG=GE.
∴∠HGB=∠HBG.
∵∠CDG+∠CGD=90°
,∠CGD=∠HGB=∠HBG,
∴∠FBG+∠HBG=90°
即∠FBH=90°
,∴FB⊥BH.
11.解:
∵在矩形ABCD中,AB=10,BC=5,∴CD=AB=10,AD=BC=5.
又∵将矩形ABCD沿EF折叠,使点A,D分别落在矩形ABCD外部的点A1,D1处,∴根据轴对称的性质可得A1E=AE,A1D1=AD,D1F=DF.
设线段D1F与线段AB交于点M,则阴影部分的周长为
(A1E+EM+MD1+A1D1)+(MB+MF+FC+CB)
=AE+EM+MD1+AD+MB+MF+FC+CB
=(AE+EM+MB)+(MD1+MF+FC)+AD+CB
=AB+(FD1+FC)+10
=AB+(FD+FC)+10
=10+10+10=30.
12.解:
两个正方形重叠部分的面积保持不变,始终是.
∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°
,∠BOC=90°
∵四边形A′B′C′O是正方形,
∴∠EOF=90°
.∴∠EOF=∠BOC.
∴∠EOF-∠BOF=∠BOC
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