高一数学 对数 对数函数 重难点解析 人教版Word下载.docx
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解法二:
∴.
(2)∵
∴
∴x=-3.
(3)∵
(4)∵
即2x=3
(5)∵
∴2x-1=0,.
例2有下列5个等式,其中a>
0且a≠1,
①,②,③,
④,⑤,
将其中正确等式的代号写在横线上_____________.
死记硬背对数运算性质,不易记住而且往往容易记错,这是对数运算中常出的问题.只有对对数概念深刻理解,在此基础上才能更牢固准确地掌握对数运算性质.
人类创造对数运算的目的,就是为了化简计算,对数概念能使运算“降级”,即幂和开方的对数降为乘除对数计算(底不变),乘除法的对数降为加减法对数计算(底不变),从而达到化简计算的目的.
只有③是正确的,所以填③
①是错的
∵从①左边看,x+y是初级运算,无法再“降级”,从右边看,.
②是错的.
从②左边看,x+y是初级运算无法降级,从右边看,只有幂的对数才能得到对数乘法,即
④是错的(前面已作分析)
⑤是错的
从左边看,是减法运算,无法再“降级”,其指数是1,即,不可能得到指数2.
从右边看,.
点评一个数学命题在给定的条件下,有时正确,有时不正确,或只对某些特定值正确,而对一般值不正确,我们就作结论,这个命题是错误的.
例3化简下列各式:
(4).
这类问题,可以将整个式子运用对数性质统一为一个单一的对数式(可以作的话)进行运算,这样作运算往往比较复杂,也就容易出错.如果分别使用性质,对每一部分先化简或合并同类“项”,可以化简运算并提高运算的准确性.
(1)
=4lg2+3lg5-lg1+lg5
=4lg2+4lg5
=4(lg2+lg5)
=4lg10
=4.
(2)
=-1.
(3)
=lg3-lg7+lg7+lg10-lg3
=lg10
=1.
(4)解法一:
=0.
=lg2(lg2+lg5)+lg5-1
=lg2+lg5-1
=1-1
例4利用对数恒等式,求下列各式的值:
(1)
(2)
(3)(4)
应用对数恒等式的关键是幂的底数与对数的底数必须相同,当两个底数不一致时,应运用所学的知识,先将其化为“同底”,再用公式计算.
(1)∵,,
.
(2),,
(3)∵,,
=7.
(4)∵,,
例5化简下列各式:
(2).
当式子中的对数式的底数不同时,难以建立相互间的联系,也就无法进行化简,所以一般先使用“换底公式”,化为同一底的对数,或者经过分析,化为互有关联的数为底的对数.
在选择需换的底时,应将式子中现有的数均分解为质因数的连乘积,将基本的、相互关联的数选作新的底数.
例6已知,,用a、b的代数式表示.
因为需要表示的目标是对数式,所以已知条件也都化为对数式,“已知与所求均逐步在内容和形式上求同”,是一般解数学题时常用的操作方法.
本题涉及3和5两个质因数,可以化为以其中一个为底的对数,可以建立相互间的联系.
解法一:
∵,105=3×
5×
7
=1+a+ab
点评思维方向正确,问题总可解出,但不同方法有繁有简,应该分析、实验、探索,尽量使用简捷的解法.
例7求下列函数的定义域、值域,并画出每个函数的图象.
(2).
定义域是研究函数时的一个重要环节,因为它决定着研究的范围.对数概念对真数、底数有很严格的要求,所以只要问题涉及对数,首先必考虑它的范围要求——对数函数的定义域!
这点千万要注意.
求值域往往比较复杂,不但应用知识多,而且考虑要全面,往往还需对照课本介绍的最基本的函数的值域或图象特点,对所求函数的值域进行估计(今后还会学习求值域的新知识与新方法).
∴函数定义域是(1,+∞)
∵x∈(1,+∞)时,x-1∈(0,+∞)
∴函数的值域是R.
(为描图象方便画三栏表)
x
…
2
4
x-1
1
3
y
-1
点评描非直线型函数的图象,一般给出3个点能描出曲线的基本形态即可(太复杂的图象可多给点).注意有渐近线时,一定要用虚线画出渐近线.
(2)∵,则x≠0
∴定义域是G={x|x≠0且x∈R}
∵x∈R时,
∴函数的值域是R
∴是偶函数
它的图象关于y轴对称
-2
如图2-16
点评不可化为作图,为什么?
例8求下列函数的定义域:
(2);
(3).
复杂函数的自变量允许取值可能受几种限制,自变量必须同时满足这些限制要求时,所涉及的每个概念才都有意义,整个的统一的函数才有意义.因此,必须取所有每个概念限制范围的交集合,才同时满足全部要求,也就是函数的定义域.
一般一种限制给出一个不等关系式,所以求复杂函数的定义域,解多个不等式构成的不等式组即可.
∴或1<
x≤5
∴函数的定义域是{x|或1<
x≤5}.
点评考虑各种限制要求要一个个来,不能遗漏;
对概念的要求把握要准确,如是否有等号等,因为只要一个值不对,整个定义域就是错的!
x<
2或x>
∴函数定义域{x|或1<
4}.
∴函数的定义域是x∈(0,1).
例9
(1)已知,将a、b、c、d四数从小到大排列为_____________________.
(2)若时,则m与n的关系是()
A.m>
n>
1B.n>
m>
C.1>
0D.1>
比较两个量大小的具体操作是:
①判断量的符号比大小;
②同一函数的函数值用函数单调进行比较;
③同号的两数可与1或-1比较;
④上述方法无效时,作差比较.
几个量比较时,需两个量两个量逐次比较.
(1)∵,
∵是减函数,是增函数
∴,
∴b>
a>
∵是增函数,是减函数
∴c<
0,d<
∵,则
-1<
d<
a<
b.
点评题目要求从小到大排列,别写成从大到小排列!
另外有些值可直接计算,如,直接就有.
(2)∵,2>
∴函数是增函数
∴n>
1,同理m>
∵,
∴m>
n
1.
选A.
∵m>
1,n>
∴作图象如图2-17.
当x=2时,从图上观察
得
解法三:
而
点评比较大小是常考题型,要灵活应用所学的知识,力求准确,迅速地给出答案.
例10
(1)若a>
0且a≠1,且,则实数a的取值范围是()
A.0<
1B.C.D.或a>
(2)若1<
d,令,则()
A.a<
b<
cB.a<
c<
bC.c<
aD.c<
b
既然都是同底对数值的大小比较问题(),可以直接应用对数函数的单调性质进行比较,由于对数函数的单调性与底数的取值范围有关,所以当底数范围不定时,必须区别底在不同范围,分别讨论求解.
(1)∵
当a>
1时,是增函数.
联立解得a>
当0<
1时,是减函数.
联立解得
∴或a>
1时,成立
∴选D.
点评注意对讨论的条件a>
1(或0<
1)要充分重视,没有这个条件,也就没有(或)这个结论,所以最后总结论必须由两者联立求得结果!
(2)∵1<
d
即
c即c<
例11已知函数.
(1)分别求这两个函数的定义域;
(2)求使的x的值;
(3)求使的x值的集合.
函数的定义域是非常重要的概念,只能在定义域的范围内研究有关函数的问题,所以涉及到函数的问题,得到结论后都必须检验,只能保留符合定义域范围的结论;
涉及到两个或两个以上的函数的问题,只能保留符合它们定义域的交集合(使对所涉及的函数均有意义)的结论.
∴函数的定义域是(-2,+∞)
∴函数的定义域是(-∞,).
(2)若
∵函数是单调递增函数
∴函数值相等时,自变量值也相等
∴2x+4=5-3x
∴使的x的值为.
(3)若
∵函数是增函数
∴2x+4>
5-3x
∴使的x值的集合是.
例12已知函数
(1)求函数的定义域;
(2)求证f(x)是奇函数;
(3)证明f(x)是减函数.
此题所求解的三个问题,都可以依据所涉及的函数的有关概念的定义入手,但在具体实施操作时,都会遇到一定的困难,这时必须灵活运用已掌握的知识巧妙处理,使这三个问题的解法各具特色,源于常规方法又不拘泥于常规方法,为我们提供了处理中学数学的某些问题的方法和技巧.
∵对x取任何实数时都成立
∴对x取任何实数时都成立
∴对x取一切实数均成立
∴函数的定义域是R.
点评我们运用了实数的绝对值的简明性质,绕过了目前不会解的不等式而求出定义域,这也说明数学中的概念和性质也是化简数学运算的有效手段.
(2)解法一:
定义域R关于原点对称
=-f(x)
∴是奇函数.
f(x)+f(-x)
=lg1
=0
∴f(-x)=-f(x)
点评奇函数的定义要求:
f(-x)=-f(x),但在具体应用时,由f(-x)经一系列恒等变换得到-f(x)有时比较困难(如证法1),如果将抽象的变换及性质应用,化为目标明确的运算(把f(-x)=-f(x)化为f(-x)+f(x)=0),这时“倒数关系”会由暗到明,顺理成章的会得到结果.所以有时把待证命题适当变形,也会给解决问题带来便利.
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