高等数学二公式大全.docx
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高等数学二公式大全
高等数学二公式大全
导数公式:
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
一些初等函数:
两个重要极限:
三角函数公式:
·诱导公式:
函数
角A
sin
cos
tg
ctg
-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
90°-α
cosα
sinα
ctgα
tgα
90°+α
cosα
-sinα
-ctgα
-tgα
180°-α
sinα
-cosα
-tgα
-ctgα
180°+α
-sinα
-cosα
tgα
ctgα
270°-α
-cosα
-sinα
ctgα
tgα
270°+α
-cosα
sinα
-ctgα
-tgα
360°-α
-sinα
cosα
-tgα
-ctgα
360°+α
sinα
cosα
tgα
ctgα
·和差角公式:
·和差化积公式:
·倍角公式:
·半角公式:
·正弦定理:
·余弦定理:
·反三角函数性质:
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
中值定理与导数应用:
曲率:
定积分的近似计算:
定积分应用相关公式:
空间解析几何和向量代数:
多元函数微分法及应用
微分法在几何上的应用:
方向导数与梯度:
多元函数的极值及其求法:
重积分及其应用:
柱面坐标和球面坐标:
曲线积分:
曲面积分:
高斯公式:
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
常数项级数:
级数审敛法:
绝对收敛与条件收敛:
幂级数:
函数展开成幂级数:
一些函数展开成幂级数:
欧拉公式:
三角级数:
傅立叶级数:
周期为的周期函数的傅立叶级数:
微分方程的相关概念:
一阶线性微分方程:
全微分方程:
二阶微分方程:
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:
(*)式的通解
两个不相等实根
两个相等实根
一对共轭复根
二阶常系数非齐次线性微分方程
一、原函数与不定积分概念
微积分学主要包含两大内容:
微分学与积分学,主要工具是极限思想方法。
单元二和单元三就是微分学及其应用。
本单元是积分学中的不定积分,是求导数的逆过程。
例如,如果已知运动的速度规律:
v=v(t),要求运动的位移规律s=s(t);又如,已知函数的变化率为y=f(x),要求原来的函数y=F(x),这都是求不定积分问题。
定义1设函数y=f(x)在某个区间上有定义,如果存在函数y=F(x),对于该区间上任一点x,使得F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx成立,则称F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数(primitivefunction)。
例如
(1)上的一个原函数
(2)上的一个原函数
(3)上的一个原函数
(4)上的一个原函数
(5)上的一个原函数
一般地说,由于常数的导数为0,如果F(x)是f(x)的一个原函数,那么F(x)+C也都是f(x)的原函数(其中C是任意常数)。
因此,如果f(x)有一个原函数F(x),它就有原函数族:
F(x)+C,这个原函数族就称为f(x)的不定积分。
即
定义2如果F(x)是f(x)的一个原函数,则称原函数族F(x)+C为f(x)的不定积分(indefiniteintegral),记为,即
其中为积分号(integralsign),为被积表达式(integrandexpression),被积函数(integrand),x为积分变量(variableofintegration)。
求不定积的的问题:
求出一个原函数,两加上一个任意常数。
例如
不定积分的几何意义:
由于中C的取值不同,代表了不同的积曲线,且它们均可由的图像在垂直方向平移而得,是一族“平行”的曲线。
二、不定积分的性质
性质1或;
或
本性质表明:
如果先积分,后求导(或求微分),则两种运算互相抵消。
反之,先求导(或求微分),后积分,则二者作用抵消后还需加上积分常数。
即是说,积分运算是求导运算(或微分运算)的逆运算。
性质2函数的代数和的积分等于各自积分的代数和,即
性质3被积函数中的非零常数因子可以提到积号外,即
(其中常数K≠0)
三、基本积分公式(公式中C为积分常数)
(1)(K是常数)
(2)(常数a≠1)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)或=
(13)或=
不定积分简单方法
例1利用基本公式求不定积分:
(1)
(2)(3)(4)
解:
(1)利用公式
(2),这里a=3,
(2)利用基本公式(5)
(3)利用基本公式(6)
(4)利用基本公式(3)
例2求
解:
利用基本公式和不定积分性质:
注:
当积分被子分成代数和来计算时,只在最后求出积分再加上一个任意常数即可。
例3求下列不定积分
(1)
(2)(3)
解:
不能直接利用公式时,可考虑作适当变化,朝可用公式的方向进行
(1)
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