版高中数学第一章计数原理12排列与组合121第1课时排列与排列数公式学案新人教A版选修23文档格式.docx
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乘积式
A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
阶乘式
A=
性质
A=n!
,0!
=1
备注
n,m∈N*,m≤n
1.a,b,c与b,a,c是同一个排列.( ×
)
2.同一个排列中,同一个元素不能重复出现.( √ )
3.在一个排列中,若交换两个元素的位置,则该排列不发生变化.( ×
4.从4个不同元素中任取3个元素,只要元素相同得到的就是相同的排列.( ×
类型一 排列的概念
例1 判断下列问题是否为排列问题:
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同);
(2)选2个小组分别去植树和种菜;
(3)选2个小组去种菜;
(4)选10人组成一个学习小组;
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员;
(6)某班40名学生在假期相互通信.
考点 排列的概念
题点 排列的判断
解
(1)中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题.
(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
(3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题.
(5)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
(6)A给B写信与B给A写信是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问题.
所以在上述各题中
(2)(5)(6)是排列问题,
(1)(3)(4)不是排列问题.
反思与感悟 判断一个具体问题是否为排列问题的思路
跟踪训练1 判断下列问题是否为排列问题.
(1)会场有50个座位,要求选出3个座位有多少种方法?
若选出3个座位安排三位客人,又有多少种方法?
(2)从集合M={1,2,…,9}中,任取两个元素作为a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程+=1?
可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程-=1?
(3)平面上有5个点,其中任意三个点不共线,这5个点最多可确定多少条直线?
可确定多少条射线?
解
(1)第一问不是排列问题,第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题,与顺序有关,故选3个座位安排三位客人是排列问题.
(2)第一问不是排列问题,第二问是排列问题.
若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>
b,a,b的大小关系一定;
在双曲线-=1中,不管a>
b还是a<
b,方程-=1均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线,故是排列问题.
(3)确定直线不是排列问题,确定射线是排列问题.
类型二 排列的列举问题
例2
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数,一共可以组成多少个?
(2)写出从4个元素a,b,c,d中任取3个元素的所有排列.
题点 列举所有排列
解
(1)由题意作“树状图”,如下.
故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43,共有12个.
(2)由题意作“树状图”,如下.
故所有的排列为abc,abd,acb,acd,adb,adc,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc,cab,cad,cba,cbd,cda,cdb,dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
反思与感悟 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略
(1)适用范围:
“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方式.
(2)策略:
在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,再安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,然后再按树状图写出排列.
跟踪训练2 写出A,B,C,D四名同学站成一排照相,A不站在两端的所有可能站法.
解 由题意作“树状图”,如下,
故所有可能的站法是BACD,BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,DBAC,DCAB.
类型三 排列数公式及应用
例3
(1)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*且,n<
55);
(2)计算;
(3)求证:
A-A=mA.
考点 排列数公式
题点 利用排列数公式计算
(1)解 因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且共有69-n-(55-n)+1=15(个)元素,
所以(55-n)(56-n)…(69-n)=A.
(2)解
=
==1.
(3)证明 方法一 因为A-A
=-
=·
=m·
=mA,
所以A-A=mA.
方法二 A表示从n+1个元素中取出m个元素的排列个数,其中不含元素a1的有A个.
含有a1的可这样进行排列:
先排a1,有m种排法,再从另外n个元素中取出m-1个元素排在剩下的m-1个位置上,有A种排法.
故A=mA+A,
所以mA=A-A.
反思与感悟 排列数公式的形式及选择方法
排列数公式有两种形式,一种是连乘积的形式,另一种是阶乘的形式,若要计算含有数字的排列数的值,常用连乘积的形式进行计算,而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时,一般用阶乘式.
跟踪训练3 不等式A<
6A的解集为( )
A.[2,8]B.[2,6]C.(7,12)D.{8}
题点 解含有排列数的方程或不等式
答案 D
解析 由A<
6A,得<
6×
,
化简得x2-19x+84<
0,
解得7<
x<
12,①
又所以2≤x≤8,②
由①②及x∈N*,得x=8.
1.从1,2,3,4四个数字中,任选两个数做加、减、乘、除运算,分别计算它们的结果,在这些问题中,有几种运算可以看作排列问题( )
A.1B.3C.2D.4
答案 C
解析 因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数做加法和乘法时,结果与两数字位置无关,故不是排列问题,而减法、除法与两数字的位置有关,故是排列问题.
2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( )
A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲
B.甲乙,丙乙、丙甲
C.甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙
D.甲乙,甲丙,乙丙
3.(x-3)(x-4)(x-5)…(x-12)(x-13),x∈N*,x>
13可表示为( )
A.AB.AC.AD.A
答案 B
解析 从(x-3),(x-4),…到(x-13)共(x-3)-(x-13)+1=11(个)数,所以根据排列数公式知(x-3)(x-4)(x-5)…(x-12)(x-13)=A.
4.从5本不同的书中选2本送给2名同学,每人1本,不同的送法种数为( )
A.5B.10C.15D.20
考点 排列的应用
题点 无限制条件的排列问题
5.解方程A=140A.
解 根据题意,原方程等价于
即
整理得4x2-35x+69=0(x≥3,x∈N*),
解得x=3.
1.判断一个问题是否是排列问题的思路
排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关,而且与元素的排列顺序有关.这就说,在判断一个问题是否是排列问题时,可以考虑所取出的元素,任意交换两个,若结果变化,则是排列问题,否则不是排列问题.
2.关于排列数的两个公式
(1)排列数的第一个公式A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)适用m已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.在运用时要注意它的特点,从n起连续写出m个数的乘积即可.
(2)排列数的第二个公式A=用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等,在具体运用时,应注意先提取公因式再计算,同时还要注意隐含条件“n,m∈N*,m≤n”的运用.
一、选择题
1.A=9×
10×
11×
12,则m等于( )
A.3B.4C.5D.6
2.已知下列问题:
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组;
②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动;
③从a,b,c,d中选出3个字母;
④从1,2,3,4,5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析 由排列的定义知①④是排列问题.
3.与A·
A不相等的是()
A.AB.81AC.10AD.A
题点 利用排列数公式证明
解析 A·
A=10×
9×
8×
7!
=A=10A=A,81A=9A≠A,故选B.
4.甲、乙、丙三人排成一排照相,甲不站在排头的所有排列种数为( )
A.6B.4C.8D.10
解析 列树状图如下:
丙甲乙乙甲 乙甲丙丙甲
故组成的排列为丙甲乙,丙乙甲,乙甲丙,乙丙甲,共4种.
5.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,则得到的不同结果有( )
A.6个B.10个C.12个D.16个
解析 不同结果有A=4×
3=12(个).
6.下列各式中与排列数A相等的是( )
A.B.n(n-1)(n-2)…(n-m)
C.D.AA
解析 A=,而AA=n×
=,
∴AA=A.
7.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”,则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )
A.6B.9C.12D.24
解析 这四位数列举为如下:
1012,1021,1102,1120,1201,
1210,2011,2101,2110,共9个.
二、填空题
8.从a,b,c,d,e五个元素中每次取出三个元素,可组成________个以b为首的不同的排列,它们分别是________________________________________.
答案 12 bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed
解析 画出树状图如下:
可知共12个,它们分别是bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed.
9.若集合P={x|x=A,m∈
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