千题百炼高中数学100个热点问题三第70炼 求点的轨迹方程Word格式.docx
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(3)定义法:
从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形,则可先判定轨迹形状,再通过确定相关曲线的要素,求出曲线方程。
常见的曲线特征及要素有:
①圆:
平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹
直角→圆:
若,则点在以为直径的圆上
确定方程的要素:
圆心坐标,半径
②椭圆:
平面上到两个定点的距离之和为常数(常数大于定点距离)的点的轨迹
距离和,定点距离
③双曲线:
平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数(小于定点距离)的点的轨迹
注:
若只是到两定点的距离差为常数(小于定点距离),则为双曲线的一支
距离差的绝对值,定点距离
④抛物线:
平面上到一定点的距离与到一定直线的距离(定点在定直线外)相等的点的轨迹
焦准距:
。
若曲线位置位于标准位置(即标准方程的曲线),则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程
(4)参数法:
从条件中无法直接找到的联系,但可通过一辅助变量,分别找到与的联系,从而得到和的方程:
,即曲线的参数方程,消去参数后即可得到轨迹方程。
二、典型例题:
例1:
设一动点到直线的距离到它到点的距离之比为,则动点的轨迹方程是()
A.B.
C.D.
思路:
设,则可直接利用已知条件列出关于的等式,化简即可
解:
设
答案:
C
例2:
已知两定点的坐标分别为,动点满足条件,则动点的轨迹方程为___________
通过作图可得等价的条件为直线的斜率的关系,设,则,则可通过的斜率关系得到动点的方程
若在轴上方,则
代入可得:
,化简可得:
即
若在轴下方,则,同理可得:
当时,即为等腰直角三角形,或满足上述方程
所以当在一四象限时,轨迹方程为
当在线段上时,同样满足,所以线段的方程也为的轨迹方程
综上所述:
的轨迹方程为或
或
例3:
已知是抛物线的焦点,是该抛物线上的动点,则线段中点的轨迹方程是()
A.B.C.D.
依题意可得,,,则有,因为自身有轨迹方程,为:
,将代入可得关于的方程,即的轨迹方程:
D
例4:
已知是抛物线上的焦点,是抛物线上的一个动点,若动点满足,则的轨迹方程是__________
考虑设,由抛物线可得:
,且,故考虑利用向量关系得到与的关系,从而利用代入法将用进行表示,代入到即可
由抛物线可得:
①
在上,将①代入可得:
,即
例5:
在平面直角坐标系中,直线与椭圆交于两点,且,分别为椭圆的左,右顶点,则直线与的交点所在曲线方程为________
由椭圆可得:
,从而可确定线与的方程。
,若联立方程解,则形式较为复杂不易化简,观察两条直线方程的特点,可发现若两边相乘,有平方差的特点,且与椭圆相交,则关于轴对称,有。
所以两方程左右两边分别相乘可得:
,再利用满足椭圆方程,消去等式中的即可
由椭圆可知:
,设交点坐标。
与椭圆相交于关于轴对称
考虑直线与的方程:
由可得:
①
同理可得:
②
①②可得:
③
由在椭圆上可得:
,代入③可得:
,整理后可得:
小炼有话说:
本题消元的方法比较特殊,是抓住了两直线中某些地方具备平方差公式的特点,从而两式相乘,再进行代入消元。
例6:
若动圆过定点且和定圆外切,则动圆圆心的轨迹方程是___________
定圆的圆心为,观察到恰好与关于原点对称,所以考虑点轨迹是否为椭圆或双曲线,设动圆的半径为,则有,由两圆外切可得,所以,即距离差为定值,所以判断出的轨迹为双曲线的左支,则,解得,所以轨迹方程为
本题从所给条件中的对称定点出发,先作一个预判,从而便可去寻找符合定义的要素,即线段的和或差。
要注意本题中,所以轨迹为双曲线的一支。
例7:
是圆的圆心为,是圆内一定点,为圆周上任一点,线段的垂直平分线与的连线交于点,则的轨迹方程为()
A.B.C.D.
可得,发现刚好与均在轴上且关于原点对称,从而联想到双曲线或椭圆的焦点,观察几何性质可得:
由的中垂线可得,从而考虑,即到的距离和为定值5,从而判断出其轨迹为椭圆,可得,则,所以椭圆方程为:
例8:
已知直线与抛物线交于两点,且,其中为坐标原点,若于,则点的轨迹方程为()
A.B.
C.D.
先处理条件可得由为邻边的平行四边形对角线相等,所以该四边形为矩形。
即,设,即,联立直线与抛物线方程并利用韦达定理可得,从而可得直线过定点,结合图像性质可得,则的轨迹为以为直径的圆,轨迹方程为
,且为为邻边的平行四边形对角线
该四边形为矩形,即
设,
联立方程:
,消去可得:
,由可得
,即直线过定点
即的轨迹为以为直径的圆
则该圆的圆心为,半径
轨迹方程为
B
例9:
过点作圆的割线,交圆于两点,在线段上取一点,使得,求点的轨迹
设点,直线的斜率为
①,联立方程:
代入①可得:
即,而代入可得:
化简可得:
,因为在圆内
所以点的轨迹是直线被圆截得的弦
例10:
如图所示,点在圆上运动,轴,点在的延长线上,且
(1)求点的轨迹方恒,并求当为何值时,的轨迹表示焦点在轴上的椭圆
(2)当时,在
(1)中所得曲线记为,已知直线,是上的动点,射线(为坐标原点)交曲线于点,又点在上且满足,求点的轨迹方程
(1)思路:
自身有轨迹方程,且条件中所求的点与点存在联系(),所以考虑利用代入法求轨迹方程。
设,然后利用向量关系找到的坐标与坐标的联系,从而代入到所在的方程便得到关于的等式,即的轨迹方程
轴①
由在上可知:
,代入①可得:
当时,的轨迹表示焦点在轴上的椭圆
(2)思路:
由
(1)可知曲线方程为,从而题目中的点均有方程。
设所求点,则可考虑寻找的坐标与之间的联系。
本题共线是关键点,因为在这条线上的点,其与点距离的比值即为横纵坐标的比值。
所以先从入手,题目中没有的比例,则不妨设,进而得到与的联系:
,再寻找的联系,结合条件可知,从而用即可表示出与的联系(而不用再设字母):
所以可以用代入法分别将两组关系代入至直线与椭圆方程,再消去即可得到的轨迹方程
由
(1)可得曲线方程为:
设由线段比例可得:
由同理可得:
分别在直线与椭圆上,代入可得:
的轨迹方程为:
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