江苏省苏州市届高三数学上学期期中试题及答案Word文档下载推荐.docx
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…·
b2017=________.
12.设△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,D为AB的中点,若b=acosC+csinA且CD=,则△ABC面积的最大值是________.
13.已知函数f(x)=sin,若对任意的实数α∈,都存在唯一的实数β∈[0,m],使f(α)+f(β)=0,则实数m的最小值是________.
14.已知函数f(x)=若直线y=ax与y=f(x)交于三个不同的点A(m,f(m)),B(n,f(n)),C(t,f(t))(其中m<
n<
t),则n++2的取值范围是________.
二、解答题:
本大题共6个小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=-sin++b(a>
0,b>
0)的图象与x轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)在上的最大值和最小值.
16.(本小题满分14分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知sinB+sinC=msinA(m∈R),且a2-4bc=0.
(1)当a=2,m=时,求b,c的值;
(2)若角A为锐角,求实数m的取值范围.
17.(本小题满分15分)
已知数列{an}的前n项和是Sn,且满足a1=1,Sn+1=3Sn+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)在数列{bn}中,b1=3,bn+1-bn=(n∈N*),若不等式λan+bn≤n2对n∈N*有解,求实数λ的取值范围.
18.(本小题满分15分)
如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是等腰梯形,其中AB为2米,梯形的高为1米,CD为3米,上部是个半圆,固定点E为CD的中点.MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计),且滑动过程中始终保持和CD平行.当MN位于CD下方和上方时,通风窗的形状均为矩形MNGH(阴影部分均不通风).
(1)设MN与AB之间的距离为x米,试将通风窗的通风面积S(平方米)表示成关于x的函数y=S(x);
(2)当MN与AB之间的距离为多少米时,通风窗的通风面积S取得最大值?
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=lnx,g(x)=x2-x-m.
(1)求过点P(0,-1)的f(x)的切线方程;
(2)当m=0时,求函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,a]上的最大值;
(3)证明:
当m≥-3时,不等式f(x)+g(x)<
x2-(x-2)ex对任意x∈均成立(其中e为自然对数的底数,e=2.718…).
20.(本小题满分16分)
已知数列{an}的各项均为正数,a1=1,a2=2,且anan+3=an+1an+2对任意n∈N*恒成立,记{an}的前n项和为Sn.
(1)若a3=3,求a5的值;
(2)证明:
对任意正实数p,{a2n+pa2n-1}成等比数列;
(3)是否存在正实数t,使得数列{Sn+t}为等比数列?
若存在,求出此时an和Sn的表达式;
若不存在,请说明理由.
附加题
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题作答.若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修41:
几何证明选讲(本小题满分10分)
如图,AB为圆O的直径,点C在圆O上,CF⊥AB,垂足为F,D为线段CF上任意一点,延长AD交圆O于点E,∠AEC=30°
.
(1)求证:
AF=FO;
(2)若CF=,求AD·
AE的值.
B.选修42:
矩阵与变换(本小题满分10分)
已知矩阵A=,α=,求A49α.
C.选修44:
坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=acos(a≠0).
(1)求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;
(2)若圆C的任意一条直径的两个端点到直线l的距离之和为,求实数a的值.
D.选修45:
不等式选讲(本小题满分10分)
设x,y均为正数,且x>
y,求证:
2x+≥2y+3.
【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
在小明的婚礼上,为了活跃气氛,主持人邀请10位客人做一个游戏.第一轮游戏中,主持人将标有数字1,2,…,10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中,让客人依次去摸,摸到数字6,7,…,10的客人留下,其余的淘汰;
第二轮放入1,2,…,5五张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字3,4,5的客人留下;
第三轮放入1,2,3三张卡片,让留下的客人依次去摸,摸到数字2,3的客人留下;
同样第四轮淘汰一位,最后留下的客人获得小明准备的礼物.已知客人甲参加了该游戏.
(1)求甲拿到礼物的概率;
(2)设ξ表示甲参加游戏的轮数,求ξ的概率分布列和数学期望E(ξ).
23.(本小题满分10分)
(1)若不等式(x+1)ln(x+1)≥ax对任意x∈[0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;
(2)设n∈N*,试比较++…+与ln(n+1)的大小,并证明你的结论.
参考答案
1.{1} 2.(1,2)∪(2,+∞) 3.充分不必要
4.1 5. 6.4 7. 8.(-2,0)∪(1,2)
9.- 10.(1,2] 11. 12.+1
13. 14.
15.
(1)因为f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为,
所以f(x)的周期为,
所以=且a>
0,
所以a=2,
此时f(x)=-sin++b.
因为f(x)的图象与x轴相切,
所以=且b>
所以b=-.
(2)由
(1)可得f(x)=-sin(4x+)+.
因为x∈,所以4x+∈,
所以当4x+=,即x=时,f(x)有最大值为;
当4x+=,即x=时,f(x)有最小值为0.
16.
(1)由题意得b+c=ma,a2-4bc=0.
当a=2,m=时,b+c=,bc=1,
解得或
(2)cosA====2m2-3.
因为A为锐角,所以cosA=2m2-3∈(0,1),
所以<
m2<
2.
又由b+c=ma可得m>
m<
17.解:
(1)因为Sn+1=3Sn+1(n∈N*),
所以Sn=3Sn-1+1(n∈N*,n≥2),
所以an+1=3an(n∈N*,n≥2).
又当n=1时,由S2=3S1+1得a2=3符合a2=3a1,
所以an+1=3an(n∈N*),
所以数列{an}是以1为首项,3为公比的等比数列,
所以an=3n-1(n∈N*).
(2)因为bn+1-bn==3(n∈N*),
所以{bn}是以3为首项,3为公差的等差数列,
所以bn=3+3(n-1)=3n(n∈N*),
所以λan+bn≤n2,即λ≤对n∈N*有解.
设f(n)=(n∈N*).
因为f(n+1)-f(n)=-=,
所以当n≥4时,f(n+1)<
f(n);
当n<
4时,f(n+1)>
f(n),
所以f
(1)<
f
(2)<
f(3)<
f(4)>
f(5)>
f(6)>
…,
所以f(n)max=f(4)=,
所以λ≤.
18.
(1)当0≤x<
1时,过点A作AK⊥CD,垂足K,如图1,则AK=1,DK==,HM=1-x.
由==2,得DH==,
所以HG=3-2DH=2+x,
所以S(x)=HM·
HG=(1-x)(2+x)=-x2-x+2;
当1<
x<
时,过点E作ET⊥MN,垂足为T,连结EN,如图2,则ET=x-1,TN===,
所以MN=2,
所以S(x)=MN·
ET=2·
(x-1).
综上所述,
S(x)=
图1
图2
(2)当0≤x<
1时,S(x)=-x2-x+2=-+在[0,1)上单调递减,
所以S(x)max=S(0)=2;
时,
S(x)=2(x-1)≤2×
=,
当且仅当x-1=,即x=+1∈时取等号,
所以S(x)max=,此时S(x)max=>
2,
所以S(x)的最大值为.
答:
当MN与AB之间的距离为米时,通风窗的通风面积S取得最大值.
19.
(1)设切点坐标为(x0,lnx0),则切线方程为y-lnx0=(x-x0),
将点P(0,-1)代入上式,得lnx0=0,即x0=1,
所以切线方程为y=x-1.
(2)当m=0时,F(x)=lnx-x2+x,x∈(0,+∞),
所以F′(x)=-,x∈(0,+∞),
所以当0<
1时,F′(x)>
0;
当x>
1时,F′(x)<
所以F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
a≤1时,F(x)的最大值为F(a)=lna-a2+a;
当a>
1时,F(x)的最大值为F
(1)=0.
(3)f(x)+g(x)<
x2-(x-2)ex可化为m>
(x-2)ex+lnx-x.
设h(x)=(x-2)ex+lnx-x,x∈,要证m≥-3时m>
h(x)对任意x∈均成立,只要证h(x)max<
-3.下证此结论成立:
因为h′(x)=(x-1),
所以当<
1时,x-1<
0.
设u(x)=ex-,则u′(x)=ex+>
所以u(x)在上单调递增.
因为u(x)在区间上的图象是一条不间断的曲线,且u=-2<
0,u
(1)=e-1>
所以∃x0∈,使得u(x0)=0,即ex0=,lnx0=-x0,
所以当x∈时,u(x)<
0,h′(x)>
当x∈(x0,1)时,u(x)>
0,h′(x)<
所以函数h(x)在上单调递增,在[x0,1]上单调递减,
所以h(x)max=h(x0)=(x0-2)ex0+lnx0-x0=(x2-2)·
-2x0=1--2x0.
因为y=1--2x在x∈上单调递增,
所以h(x0)=1--2x0<
1-2-2=-3,即h(x)max<
-3,
所以当m≥-3时,不等式f(x)+g(x)<
x2-(x-2)ex对任意x∈均成立.
20.
(1)因为a1a4=a2a3,所以
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