届高考数学理第一轮复习学案函数的单调性与最值Word文档格式.docx
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②存在x0∈I,使得f(x0)=M
①对于任意x∈I,都有f(x)≥M;
结论
M为最大值
M为最小值
[小题能否全取]
1.(2012·
陕西高考)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )
A.y=x+1 B.y=-x3
C.y=D.y=x|x|
解析:
选D 由函数的奇偶性排除A,由函数的单调性排除B、C,由y=x|x|的图象可知此函数为增函数,又该函数为奇函数,故选D.
2.函数y=(2k+1)x+b在(-∞,+∞)上是减函数,则( )
A.k>
B.k<
C.k>
-D.k<
-
选D 函数y=(2k+1)x+b是减函数,
则2k+1<
0,即k<
-.
3.(教材习题改编)函数f(x)=的最大值是( )
A.B.
C.D.
选D ∵1-x(1-x)=x2-x+1=2+≥,∴0<
≤.
4.(教材习题改编)f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间为________;
f(x)max=________.
函数f(x)的对称轴x=1,单调增区间为[1,4],f(x)max=f(-2)=f(4)=8.
答案:
[1,4] 8
5.已知函数f(x)为R上的减函数,若m<
n,则f(m)______f(n);
若f<
f
(1),则实数x的取值范围是______.
由题意知f(m)>
f(n);
>
1,即|x|<
1,且x≠0.
故-1<
x<
1且x≠0.
(-1,0)∪(0,1)
1.函数的单调性是局部性质
从定义上看,函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质,是局部的特征.在某个区间上单调,在整个定义域上不一定单调.
2.函数的单调区间的求法
函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域.对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数函数、指数函数等;
如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间.
[注意] 单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;
如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结.
函数单调性的判断
典题导入
[例1] 证明函数f(x)=2x-在(-∞,0)上是增函数.
[自主解答] 设x1,x2是区间(-∞,0)上的任意两个自变量的值,且x1<
x2.
则f(x1)=2x1-,f(x2)=2x2-,
f(x1)-f(x2)=-
=2(x1-x2)+
=(x1-x2)
由于x1<
x2<
0,所以x1-x2<
0,2+>
0,
因此f(x1)-f(x2)<
即f(x1)<
f(x2),
故f(x)在(-∞,0)上是增函数.
由题悟法
对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法:
(1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明;
(2)可导函数则可以利用导数证明.对于抽象函数单调性的证明,一般采用定义法进行.
以题试法
1.判断函数g(x)=在(1,+∞)上的单调性.
解:
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<
x2,
则g(x1)-g(x2)=-
=,
由于1<
x1<
所以x1-x2<
0,(x1-1)(x2-1)>
因此g(x1)-g(x2)<
0,即g(x1)<
g(x2).
故g(x)在(1,+∞)上是增函数.
求函数的单调区间
[例2] (2012·
长沙模拟)设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数k,定义函数fk(x)=取函数f(x)=2-|x|.当k=时,函数fk(x)的单调递增区间为( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,-1)D.(1,+∞)
[自主解答] 由f(x)>
,得-1<
1.由f(x)≤,得x≤-1或x≥1.
所以f(x)=
故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1).
[答案] C
若本例中f(x)=2-|x|变为f(x)=log2|x|,其他条件不变,则fk(x)的单调增区间为________.
函数f(x)=log2|x|,k=时,函数fk(x)的图象如图所示,由图示可得函数fk(x)的单调递增区间为(0,].
(0,]
求函数的单调区间的常用方法
(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.
(2)定义法:
先求定义域,再利用单调性定义.
(3)图象法:
如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.
(4)导数法:
利用导数的正负确定函数的单调区间.
2.函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是( )
A.[1,2]B.[-1,0]
C.[0,2]D.[2,+∞)
选A 由于f(x)=|x-2|x=
结合图象可知函数的单调减区间是[1,2].
单调性的应用
[例3]
(1)若f(x)为R上的增函数,则满足f(2-m)<
f(m2)的实数m的取值范围是________.
(2)(2012·
安徽高考)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则a=________.
[自主解答]
(1)∵f(x)在R上为增函数,∴2-m<
m2.
∴m2+m-2>
0.∴m>
1或m<
-2.
(2)由f(x)=可得函数f(x)的单调递增区间为,故3=-,解得a=-6.
[答案]
(1)(-∞,-2)∪(1,+∞)
(2)-6
单调性的应用主要涉及利用单调性求最值,进行大小比较,解抽象函数不等式,解题时要注意:
一是函数定义域的限制;
二是函数单调性的判定;
三是等价转化思想与数形结合思想的运用.
3.
(1)(2013·
孝感调研)函数f(x)=在[2,3]上的最小值为________,最大值为________.
(2)已知函数f(x)=-(a>
0,x>
0),若f(x)在上的值域为,则a=__________.
(1)∵f′(x)=-<
0,∴f(x)在[2,3]上为减函数,∴f(x)min=f(3)==,f(x)max==1.
(2)由反比例函数的性质知函数f(x)=-(a>
0)在上单调递增,
所以即解得a=.
(1) 1
(2)
广东高考)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )
A.y=ln(x+2) B.y=-
C.y=xD.y=x+
选A 选项A的函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数.
2.若函数f(x)=4x2-mx+5在[-2,+∞)上递增,在(-∞,-2]上递减,则f
(1)=( )
A.-7B.1
C.17D.25
选D 依题意,知函数图象的对称轴为x=-==-2,即m=-16,从而f(x)=4x2+16x+5,f
(1)=4+16+5=25.
3.(2013·
佛山月考)若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是( )
A.增函数B.减函数
C.先增后减D.先减后增
选B ∵y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,∴a<
0,b<
0,∴y=ax2+bx的对称轴方程x=-<
0,∴y=ax2+bx在(0,+∞)上为减函数.
4.“函数f(x)在[a,b]上为单调函数”是“函数f(x)在[a,b]上有最大值和最小值”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
选A 若函数f(x)在[a,b]上为单调递增(减)函数,则在[a,b]上一定存在最小(大)值f(a),最大(小)值f(b).所以充分性满足;
反之,不一定成立,如二次函数f(x)=x2-2x+3在[0,2]存在最大值和最小值,但该函数在[0,2]不具有单调性,所以必要性不满足,即“函数f(x)在[a,b]上单调”是“函数f(x)在[a,b]上有最大值和最小值”的充分不必要条件.
5.(2012·
青岛模拟)已知奇函数f(x)对任意的正实数x1,x2(x1≠x2),恒有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>
0,则一定正确的是( )
A.f(4)>
f(-6)B.f(-4)<
f(-6)
C.f(-4)>
f(-6)D.f(4)<
选C 由(x1-x2)(f(x1)-f(x2))>
0知f(x)在(0,+∞)上递增,所以f(4)<
f(6)⇔f(-4)>
f(-6).
6.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<
0时,f(x)>
0,则函数f(x)在[a,b]上有( )
A.最小值f(a)B.最大值f(b)
C.最小值f(b)D.最大值f
选C ∵f(x)是定义在R上的函数,且
f(x+y)=f(x)+f(y),
∴f(0)=0,令y=-x,则有f(x)+f(-x)=f(0)=0.
∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是R上的奇函数.设x1<
x2,则x1-x2<
0,∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)
=f(x1-x2)>
0.
∴f(x)在R上是减函数.∴f(x)在[a,b]有最小值f(b).
7.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是________.
y=-(x-3)|x|
=
作出该函数的图象,观察图象知递增区间为.
8.(2012·
台州模拟)若函数y=|2x-1|,在(-∞,m]上单调递减,则m的取值范围是________.
画出图象易知y=|2x-1|的递减区间是(-∞,0],
依题意应有m≤0.
(-∞,0]
9.若f(x)=在区间(-2,+∞)上是增函数,则a的取值范围是________.
设x1>
x2>
-2,则f(x1)>
而f(x1)-f(x2)=-
=>
0,则2a-1>
得a>
.
10.求下列函数的单调区间:
(1)y=-x2+2|x|+1;
(2)y=a1-2x-x2(a>
0且a≠1).
(1)由于y=
即y=
画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).
(2)令g(x)=1-2x-x2=-(x+
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- 高考 学理 第一轮 复习 函数 调性