高考文数考点解析导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例Word文件下载.docx
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x2·
·
令f错误!
=25x4-10x5,x∈,f'
=100x3-50x4,
令f'
>
0,即x4-2x3<
0,x<
2,
则f错误!
≤f错误!
=80,
则V≤错误!
×
=4
所以体积最大值为4错误!
cm3.
答案:
4错误!
cm3
2.(2017·
天津高考文科·
T10)已知a∈R,设函数f(x)=ax-lnx的图象在点(1,f
(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为 .
【命题意图】考查用导数求曲线切线的方法.
【解析】f
(1)=a,切点为(1,a),f'
(x)=a-错误!
则切线的斜率为f'
(1)=a-1,切线方程为y-a=(a-1)(x-1),令x=0得出y=1,l在y轴的截距为1.
1
2、解答题
3.(2017·
T21)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
(1)讨论f(x)的单调性.
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
【命题意图】本题主要考查含有参数问题的函数单调性问题及利用函数的零点确定参数的取值范围.
【解析】
(1)由于f错误!
=ae2x+错误!
ex-x,
故f'
=2ae2x+错误!
ex-1=错误!
1a≤0时,aex-1<
0,2ex+1>
0.从而f'
<
0恒成立.
f错误!
在R上单调递减.
2a>
0时,令f'
=0,从而aex-1=0,得x=-lna.
x
(-∞,-lna)
-lna
(-lna,+∞)
f'
-
+
单调减
极小值
单调增
综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递减;
当a>
0时,f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增.
(2)由
(1)知,当a≤0时,f错误!
在R上单调减,故f错误!
在R上至多一个零点,不满足条件.
0时,f(x)min=f(错误!
=1-错误!
+lna.
令g错误!
+lna错误!
则g'
=+错误!
0.从而g错误!
在错误!
上单调增,而g=0.故当0<
a<
1时,g错误!
0;
当a=1时g错误!
=0;
1时g错误!
0.
若a>
1,则f(x)min=1-错误!
+lna=g错误!
0,故f错误!
0恒成立,从而f错误!
无零点,不满足条件.
若a=1,则f(x)min=1-+lna=0,故f错误!
=0仅有一个实根x=-lna=0,不满足条件.
若0<
+lna<
0,注意到-lna>
=++1->
故f错误!
在上有一个实根,
而又>
ln=-lna.
且f
=-ln错误!
=·
-ln
=-ln>
故f在上有一个实根.
又f在上单调减,在单调增,故f在R上至多两个实根.
又f在及上均至少有一个实数根,故f在R上恰有两个实根.
综上,a的取值范围为.
4.(2017·
全国乙卷文科·
T21)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
【命题意图】本题主要考查利用导数解决函数的单调性及利用函数的单调性求参数的取值范围问题,主要考查考生解决问题的综合能力.
(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),
(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a),
①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.
②若a>
0,则由f'
(x)=0得x=lna.
当x∈(-∞,lna)时,f'
(x)<
当x∈(lna,+∞)时,
(x)>
0,所以f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.
③若a<
(x)=0得x=ln错误!
.
当x∈错误!
时,f'
0,
故f(x)在单调递减,
在单调递增.
(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)>
0,则由
(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna.从而当且仅当-a2lna≥0,即0<
a≤1时,f(x)≥0.
0,则由
(1)得,当x=ln时,f(x)取得最小值,最小值为f=a2.从而当且仅当a2≥0,即0>
a≥-2时f(x)≥0.
5.(2017·
全国甲卷理科·
T21)(12分)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)≥0.
(1)求a.
(2)证明:
f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2<
f(x0)<
2-2.
【命题意图】导数在研究函数的单调性和最值中的应用,函数的极值,意在考查学生的推理论证能力和分类讨论的思想方法.
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),设g(x)=ax-a-lnx,
则f(x)=xg(x),f(x)≥0等价于g(x)≥0,
因为g
(1)=0,g(x)≥0,故g'
(1)=0,而g'
(x)=a-,
g'
(1)=a-1,得a=1.
若a=1,则g'
(x)=1-.当0<
x<
1时,g'
0,g(x)单调递减;
当x>
0,g(x)单调递增.所以x=1是g(x)的极小值点,故g(x)≥g
(1)=0.
综上,a=1.
(2)由
(1)知f(x)=x2-x-xlnx,f'
(x)=2x-2-lnx,设h(x)=2x-2-lnx,h'
(x)=2-错误!
当x∈时,h'
0,所以h(x)在上单调递减,在上单调递增.又h(e-2)>
0,h错误!
0,h
(1)=0,所以h(x)在错误!
上有唯一零点x0,在错误!
上有唯一零点1,且当x∈(0,x0)时,h(x)>
当x∈(x0,1)时,h(x)<
0,当x∈(1,+∞)时,h(x)>
因为f'
(x)=h(x),所以x=x0是f(x)的唯一极大值点,
由f'
(x0)=0得lnx0=2(x0-1),故f(x0)=x0(1-x0),由x0∈得f(x0)<
因为x=x0是f(x)在(0,1)的最大值点,由e-1∈(0,1),f'
(e-1)≠0得f(x0)>
f(e-1)=e-2,所以e-2<
6.(2017·
全国甲卷文·
T21)(12分)设函数f(x)=(1-x2)ex.
(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.
【命题意图】导数的计算,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,导数在研究函数中的应用,意在考查学生的转化、化归思想和求解运算能力.
(1)f'
(x)=(1-2x-x2)ex,另f'
(x)=0得x=-1±
当x∈(-∞,-1-)时,f'
当x∈(-1-,-1+)时,f'
当x∈(-1+,+∞)时,f'
所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)上单调递减;
在(-1-,-1+)上单调递增.
(2)令g(x)=f(x)-ax-1=(1-x2)ex-(ax+1),
令x=0,可得g(0)=0,
(x)=(1-x2-2x)ex-a,
令h(x)=(1-x2-2x)ex-a,h'
(x)=-(x2+4x+1)ex,
当x≥0时,h'
0,h(x)单调递减,故h(x)≤h(0)=1-a,即g'
(x)≤1-a,
要使f(x)-ax-1≤0在x≥0时恒成立,需要1-a≤0,
即a≥1,此时g(x)≤g(0)=0,故a≥1,
综上所述,a的取值范围是[1,+∞)
7.(2017·
天津高考理科·
T20)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.
(1)求g(x)的单调区间.
(2)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求证:
h(m)h(x0)<
(3)求证:
存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且错误!
∈[1,x0)∪(x0,2],满足错误!
≥错误!
【命题意图】本题考查利用导数求函数的单调区间以及以函数为背景利用导数证明某些不等式,主要考查导数的综合应用.考查综合应用能力及运算能力.
(1)由f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a,可得
g(x)=f'
(x)=8x3+9x2-6x-6,
进而可得g'
(x)=24x2+18x-6.令g'
(x)=0,解得x=-1,或x=错误!
当x变化时,g'
(x),g(x)的变化情况如下表:
(-∞,-1)
(x)
g(x)
↗
↘
所以,g(x)的单调递增区间是(-∞,-1),错误!
单调递减区间是错误!
(2)由h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),得h(m)=g(m)(m-x0)-f(m),
h(x0)=g(x0)(m-x0)-f(m).
令函数H1(x)=g(x)(x-x0)-f(x),则H'
1(x)=g'
(x)(x-x0).由
(1)知,当x∈[1,2]时,g'
0,故当x∈[1,x0)时,H'
1(x)<
0,H1(x)单调递减;
当x∈(x0,2]时,H'
1(x)>
0,H1(x)单调递增.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>
H1(x0)=-f(x0)=0,可得H1(m)>
0,即h(m)>
令函数H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),则H
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