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复数的起源

复数的应用

1.系统分析

2.信号分析

3.反常积分

4.量子力学

5.相对论

6.应用数学

7.流体力学

8.碎形

数系理论的历史发展

复变初等函数

1.实变初等函数的推广

2.复变指数函数

3.复数的三角函数

4.复数的双曲函数

图1

[编辑本段]

数学术语

复数的概念

复数的定义

　　数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。

比如判别式小于0的一元二次方程仍无解。

因此将数集再次扩充，达到复数范围。

　　我们定义，形如z=a+bi的数称为复数，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1（a与b是任意实数）

　　我们将复数z=a+bi中的实数a称为虚数z的实部（realpart）记作Rez=a

　　实数b称为虚数z的虚部（imaginarypart）记作Imz=b.

　　易知：

当b=0时，z=a+ib=a+0，这时复数成为实数；

　　当a=0且b≠0时z=a+bi=0+bi我们就将其称为纯虚数。

　　设z=a+bi是一个复数，则称复数z‘=a-bi为z的共轭复数。

　　定义：

复数的模（绝对值）=√（a^2+b^2）（定义原因见下述内容）

　　复数的集合用C表示，显然，R∩C=R（即R是C的真子集）

　　复数是无序的，因为在复平面上可以很容易看出来复数不光有长度还有方向（可类比矢量）

复数（代数式）的四则运算：

　　（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，

　　（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，

　　（a＋bi）•（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i，

　　（c与d不同时为零）

　　（a＋bi）÷

（c＋di）＝[（ac+bd）/（c^2+d^2）]＋[（bc－ad）/（c^2+d^2）]i，

　　（c+di）不等于0

复数的其他表达

　　复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi叫做代数形式。

　　下面介绍另外几种复数的表达形式。

　　①几何形式。

　　在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面（见本词条附图）

　　这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定

　　复数z=a+bi用复平面上的点z（a，b）表示。

这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。

也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。

　　②向量形式。

复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点，点Z（a，b）为终点的向量OZ表示。

这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。

　　③三角形式。

复数z＝a＋bi化为三角形式

　　z＝r（cosθ＋sinθi）

　　式中r=sqrt（a^2+b^2），叫做复数的模（即绝对值）；

θ是以x轴为始边；

向量OZ为终边的角，叫做复数的辐角。

这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。

　　④指数形式。

将复数的三角形式z＝r（cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为exp（iθ），复数就表为指数形式z＝rexp（iθ）

复数三角形式的运算：

　　设复数z1、z2的三角形式分别为r1（cosθ1+isinθ1）和r2（cosθ2+isinθ2），那么z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]

　　z1÷

z2＝r1÷

r2[cos（θ1－θ2）+isin（θ1－θ2）]，若复数z的三角形式为r（cosθ+isinθ），那么z^n＝r^n（cosnθ+isinnθ），n√z＝n√r[cos（2kπ+θ）/n+isin（2kπ+θ）/n]（k＝1，2，3……）必须记住：

z的n次方根是n个复数。

　　复数的乘、除、乘方、开方可以按照幂的运算法则进行。

复数集不同于实数集的几个特点是：

开方运算永远可行；

一元n次复系数方程总有n个根（重根按重数计）；

复数不能建立大小顺序。

　　复数中的重要定理：

迪莫佛定理（DeMorie'

sTheorem）

　　若有一复数z=r（cosθ+isinθ）,则z^n=（r^n）*[cos（nθ）+isin（nθ）]

　　若z^n=k（cosθ+isinθ）,则z=（n√k）{cos[（θ+2kπ）/n]+isin[（θ+2kπ）/n]},n∈N,n=1,2,3.....（n-1）

复数集的分类

　　数的分类拓展到复数范围后，我们对复数范围的数集做以下分类

　　复数（a+bi）——集合符号C

　　－－实数（b=0）——集合符号R

　　－－－－有理数——集合符号Q

（一）－－－正有理数——集合符号Q+

　　－－－－－－－－正整数——集合符号Z+或N*

　　－－－－－－－－－－1

　　－－－－－－－－－－质数

　　－－－－－－－－－－合数

　　－－－－－－－－正分数

　　－－－－－－０

　　－－－－－－负有理数——集合符号Q-

　　－－－－－－－－负整数——集合符号Z-

　　－－－－－－－－负分数

（二）－－－整数——集合符号Z

　　－－－－－－－－（自然数）——集合符号N

　　－－－－－－－－奇数

　　－－－－－－－－偶数

　　－－－－－－分数

　　－－－－无理数

　　－－－－－－正无理数

　　－－－－－－负无理数

　　－－虚数（b≠0）

　　－－－－纯虚数（a=0）

　　－－－－混虚数（a≠0）

复数的起源

　　16世纪意大利米兰学者卡当（JeromeCardan1501—1576）在1545年发表的《重要的艺术》一书中，公布了三次方程的一般解法，被后人称之为“卡当公式”。

他是第一个把负数的平方根写到公式中的数学家，并且在讨论是否可能把10分成两部分，使它们的乘积等于40时，他把答案写成=40，尽管他认为和这两个表示式是没有意义的、想象的、虚无飘渺的，但他还是把10分成了两部分，并使它们的乘积等于40。

给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596—1650），他在《几何学》（1637年发表）中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来。

　　数系中发现一颗新星——虚数，于是引起了数学界的一片困惑，很多大数学家都不承认虚数。

德国数学家莱布尼茨（1646—1716）在1702年说：

“虚数是神灵遁迹的精微而奇异的隐避所，它大概是存在和虚妄两界中的两栖物”。

瑞士数学大师欧拉（1707—1783）说；

“一切形如，√-1，√-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。

对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。

”然而，真理性的东西一定可以经得住时间和空间的考验，最终占有自己的一席之地。

法国数学家达朗贝尔（1717—1783）在1747年指出，如果按照多项式的四则运算规则对虚数进行运算，那么它的结果总是的形式（a、b都是实数）（说明：

现行教科书中没有使用记号=-i，而使用=-1）。

法国数学家棣莫佛（1667—1754）在1730年发现公式了，这就是著名的棣莫佛定理。

欧拉在1748年发现了有名的关系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i来表示一1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位。

“虚数”实际上不是想象出来的，而它是确实存在的。

挪威的测量学家成塞尔（1745—1818）在1779年试图给于这种虚数以直观的几何解释，并首先发表其作法，然而没有得到学术界的重视。

　　德国数学家阿甘得（1777—1855）在1806年公布了虚数的图象表示法，即所有实数能用一条数轴表示，同样，虚数也能用一个平面上的点来表示。

在直角坐标系中，横轴上取对应实数a的点A，纵轴上取对应实数b的点B，并过这两点引平行于坐标轴的直线，它们的交点C就表示复数a+bi。

象这样，由各点都对应复数的平面叫做“复平面”，后来又称“阿甘得平面”。

高斯在1831年，用实数组（a，b）代表复数a+bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也象实数一样地“代数化”。

他又在1832年第一次提出了“复数”这个名词，还将表示平面上同一点的两种不同方法——直角坐标法和极坐标法加以综合。

统一于表示同一复数的代数式和三角式两种形式中，并把数轴上的点与实数—一对应，扩展为平面上的点与复数—一对应。

高斯不仅把复数看作平面上的点，而且还看作是一种向量，并利用复数与向量之间—一对应的关系，阐述了复数的几何加法与乘法。

至此，复数理论才比较完整和系统地建立起来了。

　　经过许多数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不虚呵。

虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。

　　随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据。

复数的应用

系统分析

　　在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。

因此可在复平面上分析系统的极点和零点。

分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法（Nyquistplot）和尼科尔斯图法（Nicholsplot）都是在复平面上进行的。

　　无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。

如果系统极点

　　位於右半平面，则因果系统不稳定；

都位于左半平面，则因果系统稳定；

位於虚轴上，则系统为临界稳定的。

如果系统的全部零点都位於右半平面，则这是个最小相位系统。

如果系统的极点和零点关於虚轴对称，则这是全通系统。

信号分析

　　信号分析和其他领域使用复数可以方便的表示周期信号。

模值|z|表示信号的幅度，辐角arg（z）表示给定频率的正弦波的相位。

　　利用傅立叶变换可将实信号表示成一系列周期函数的和。

这些周期函数通常用形式如下的复函数的实部表示：

　　其中ω对应角频率，复数z包含了幅度和相位的信息。

　　电路分析中，引入电容、电感与频率有关的虚部可以方便的将电压、电流的关系用简单的线性方程表示并求解。

（有时用字母j作为虚数单位，以免与电流符号i混淆。

）

反常积分

　　在应用层面，复分析常用以计算某些实值的反常函数，藉由复值函数得出。

方法有多种，见围道积