初三数学圆经典例题Word格式文档下载.docx
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(请务必注意区分等弧,等弦,等圆的概念)
弓形:
弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高:
弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
(请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形,对应两个弓高)
固定的已经不能再固定的方法:
求弦心距,弦长,弓高,半径时通常要做弦心距,并连接圆心和弦的一个端点,得到直角三角形。
如下图:
考点4:
三角形的外接圆:
锐角三角形的外心在,直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。
考点5
点和圆的位置关系设圆的半径为r,点到圆心的距离为d,
则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外d>r;
②点在圆上d=r;
③点在圆内d<r;
【典型例题】
例1在⊿ABC中,∠ACB=90°
AC=2,BC=4,CM是AB边上的中线,以点C为圆心,以为半径作圆,试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系,并说明你的理由。
例2.已知,如图,CD是直径,,AE交⊙O于B,且AB=OC,求∠A的度数。
例3⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm,最大为8cm,则这圆的半径是_________cm。
例4在半径为5cm的圆中,弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,则AB和CD的距离是多少?
例5如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E,已知AE=6cm,EB=2cm,,
求CD的长.
例6.已知:
⊙O的半径0A=1,弦AB、AC的长分别为,求的度数.
例7.如图,已知在中,,AB=3cm,AC=4cm,以点A为圆心,AC长为半径画弧交CB的延长线于点D,求CD的长.
例8、如图,有一圆弧开桥拱,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是__m。
.思考题
如图所示,已知⊙O的半径为10cm,P是直径AB上一点,弦CD过点P,CD=16cm,过点A和B分别向CD引垂线AE和BF,求AE-BF的值.
二.垂径定理及其推论
考点1
垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条孤.
推论1:
①平分弦(不是直径)的直径重直于弦,并且平分弦所对的两条孤.
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条孤.
③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条孤.
推论2.圆的两条平行弦所夹的孤相等.
垂径定理及推论1中的三条可概括为:
1经过圆心;
②垂直于弦;
③平分弦(不是直径);
④平分弦所对的优弧;
⑤平分弦所对的劣弧.以上五点已知其中的任意两点,都可以推得其它两点
例1如图AB、CD是⊙O的弦,M、N分别是AB、CD的中点,且.
求证:
AB=CD.
例2已知,不过圆心的直线交⊙O于C、D两点,AB是⊙O的直径,AE⊥于E,BF⊥于F。
CE=DF.
例3如图所示,⊙O的直径AB=15cm,有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动(点C与点A,点D与B不重合),且CE⊥CD交AB于E,DF⊥CD交AB于F。
(1)求证:
AE=BF
(2)在动弦CD滑动的过程中,四边形CDEF的面积是否为定值?
若是定值,请给出证明,并求出这个定值,若不是,请说明理由。
例4如图,在⊙O内,弦CD与直径AB交成角,若弦CD交直径AB于点P,且⊙O半径为1,试问:
是否为定值?
若是,求出定值;
若不是,请说明理由.
例5.如图所示,在⊙O中,弦AB⊥AC,弦BD⊥BA,AC、BD交直径MN于E、F.求证:
ME=NF.
例6.(思考题)如图,与交于点A,B,过A的直线分别交,于M,N,C为MN的中点,P为的中点,求证:
PA=PC.
三.圆周角与圆心角
圆心角:
顶点在圆心的角叫圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
Eg:
判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。
圆周角:
顶点在圆周上,角两边和圆相交的角叫圆周角。
两个条件缺一不可.
判断下列图示中,各图形中的角是不是圆周角,并说明理由
考点2
定理:
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如下三图,请证明。
13.如图,已知A、B、C、D是⊙O上的四个点,AB=BC,BD交AC于点E,连接CD、AD.
DB平分∠ADC;
(2)若BE=3,ED=6,求AB的长.
14.如图所示,已知AB为⊙O的直径,CD是弦,且ABCD于点E.连接AC、OC、BC.
ACO=BCD.
(2)若EB=,CD=,求⊙O的直径.
15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线,过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE。
AC=AE;
(2)求△ACD外接圆的半径。
16.已知:
如图等边内接于⊙O,点是劣弧上的一点(端点除外),延长至,使,连结.
(1)若过圆心,如图①,请你判断是什么三角形?
并说明理由.
(2)若不过圆心,如图②,又是什么三角形?
为什么?
四.圆心角、弧、弦、弦心距关系定理
圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理:
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的孤相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等
推论:
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
(务必注意前提为:
在同圆或等圆中)
例1.如图所示,点O是∠EPF的平分线上一点,以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D,求证:
例2、已知:
如图,EF为⊙O的直径,过EF上一点P作弦AB、CD,且∠APF=∠CPF。
PA=PC。
例3.如图所示,在中,∠A=,⊙O截的三条边长所得的三条弦等长,求∠BOC.
例4.如图,⊙O的弦CB、ED的延长线交于点A,且BC=DE.求证:
AC=AE.
例5.如图所示,已知在⊙O中,弦AB=CB,∠ABC=,OD⊥AB于D,OE⊥BC于E.
是等边三角形.
例6.如图所示,已知△ABC是等边三角形,以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E。
(1)试说明△ODE的形状;
(2)如图2,若∠A=60º
,AB≠AC,则①的结论是否仍然成立,说明你的理由。
例7弦DF∥AC,EF的延长线交BC的延长线于点G.
△BEF是等边三角形;
(2)BA=4,CG=2,求BF的长.
例8已知:
如图,∠AOB=90°
,C、D是弧AB的三等分点,AB分别交OC、OD于点E、F。
AE=BF=CD。
六.会用切线,能证切线
考点速览:
直线与圆的位置关系
图形
公共点个数
d与r的关系
d>
r
相离
1
d=r
相切
2
d<
相交
切线:
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
符号语言
∵OA⊥l于A,OA为半径
∴l为⊙O的切线
考点3
判断直线是圆的切线的方法:
①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。
②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
③经过半径外端,垂直于这条半径的直线是圆的切线。
(请务必记住证明切线方法:
有交点就连半径证垂直;
无交点就做垂直证半径)
考点4
切线的性质定理:
圆的切线垂直于经过切点的半径。
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2:
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
(请务必记住切线重要用法:
见切线就要连圆心和切点得到垂直)
1、如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若AB=3,BC=4,DE=DC,求⊙O的半径.
2.如图,是半圆的直径,过点作弦的垂线交半圆于点,交于点使.
(1)判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论;
3.如图,已知Rt△ABC,∠ABC=90°
,以直角边AB为直径作O,交斜边AC于点D,连结BD.
(1)取BC的中点E,连结ED,试证明ED与⊙O相切.
(2)在
(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求DE的长;
4.如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
PC是⊙O的切线;
(2)求证:
BC=AB;
5.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,AE平分∠BAD交BC于点E,点O是AB上一点,⊙O过A、E两点,交AD于点G,交AB于点F.
BC与⊙O相切;
(2)当∠BAC=120°
时,求∠EFG的度数
6.如图,四边形ABCD是平行四边形,以AB为直径的⊙O经过点D,E是⊙O上一点,
(1)若∠AED=45º
.试判断CD与⊙O的关系,并说明理由.
(2)若∠AED=60º
AD=4,求⊙O半径。
7.在Rt△ACB中,∠C=90°
,AC=3cm,BC=4cm,以BC为直径作⊙O交AB于点D.
(1)求线段AD的长度;
(2)点E是线段AC上的一点,试问当点E在什么位置时,直线ED与⊙O相切?
请说明理由.
8.如图,已知△ABC内接于⊙O,AC是⊙O的直径,D是的中点,过点D作直线BC的垂线,分别交CB、CA的延长线E、F
EF⊙是O的切线;
(2)若AB=8,EB=2,求⊙O的半径.
如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB为直径,若PA⊥AB,PO过AC的中点M,求证:
PC是⊙O的切线。
20.已知:
AB是⊙O的弦,OD⊥AB于M交⊙O于点D,CB⊥AB交AD的延长线于C.
AD=DC;
(2)过D作⊙O的切线交BC于E,若DE=2,CE=1,
求⊙O的半径.
20.在Rt中,∠F=90°
,点B、C分别在AD、FD上,以AB为直径的半圆O过点C,联结AC,将△AFC沿AC翻折得,且点E恰好落在直径AB上.
(1)判断:
直线FC与半圆O的位置关系是_______________;
并证明你的结论.
(2)若OB=BD=2,求CE的长.
20.如图所示,AB是⊙O的直径,OD⊥弦BC于点F,且交⊙O于点E,若∠AEC=∠ODB.
(1)判断直线BD和⊙O的位置关系,并给出证明;
(2)当AB=10,BC=8时,求BD的长.
20.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E,
联结EB交OD于点F.
OD⊥BE;
(2)若DE=,AB=5,求AE的长.
20.如图,AB是的直径,,M是OA上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且
(1)证明CF是的切线
(2)设⊙O
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