《等腰三角形的判定》练习文档格式.docx
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,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
知识点5:
等腰三角形中常用的辅助线
等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线,由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平分线,有时则需要作高或中线,这要视具体情况来定。
一、知识点回顾等腰三角形的性质:
△ABC中,AB=AC.点D在BC边上
(1)∵AB=AC,∴∠_____=∠______;
(即性质1)
(2)∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴_______=________;
________⊥_________;
(即性质2)(3)∵AB=AC,AD是中线,∴∠______=∠______;
________⊥________;
(即性质2)
(4)∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠________=∠_______;
_______=_______.(即性质2)等腰三角形的判定:
△ABC中,∵∠B=∠C∴_____=_____.二、基础题
第1题.已知等腰三角形的一个内角为80°
,则它的另两角为________________.
第2题.在△ABC中,∠ABC=∠C=2∠A,BD是∠ABC的平分线,DE∥BC,则图中等腰三角形的个数是()A.2
B.3
C.4
D.5
第3题.如图1,△MNP中,∠P=60°
,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至G,取NG=NQ,若△MNP的周长为12,MQ=a,则△MGQ周长是()
B
知识点1:
等腰三角形的性质定理1
(1)文字语言:
等腰三角形的两个底角相等(简称“等边对等角”)
(2)符号语言:
如图,在△ABC中,因为AB=AC,所以∠B=∠C(3)证明:
取BC的中点D,连接AD在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)
(4)定理的作用:
证明同一个三角形中的两个角相等。
知识点2:
等腰三角形性质定理2
(1)文字语言:
等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高,互相重合(简称“三线合一”)
(2)符号语言:
∵AB=AC,∠1=∠2∵AB=AC,AD⊥BC∵AB=AC,BD=DC∴AD⊥BC,BD=DC∴∠1=∠2,BD=DC∴∠1=∠2,AD⊥BC(3)定理的作用:
可证明角相等,线段相等或垂直。
在等腰三角形中经常添加辅助线,虽然“顶角的平分线,底边上的高、底边上的中线互相
重合,如何添加要根据具体情况来定,作时只作一条,再根据性质得出另两条”。
知识3:
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对
等边”)
(2)符号语言:
在△ABC中,∵∠B=∠C∴AB=AC(3)证明:
过A作AD⊥BC于D,则∠ADB=∠ADC=90°
。
在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD(AAS)∴AB=AC
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系,它是证明线段相等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据,是本节的重点。
M
A
QBQP图图2
C
BDEC图3图4
GN
A.
8+2
a
B
.8+aC.6+aD.6+2a
第4题.如图2,O是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线的交点,OD∥AB交BC于D,OE∥AC交BC于E点,若
BC=10cm,那么△ODE的周长为()
A.8cm
B.9cm
C.10cm
D.11cm
第5题.如图3,已知:
P,Q是△ABC边上BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.第6题.等腰三角形底边中点与一腰的距离为6,则腰上的高为______.
第7题.如图4,DE是线段BC垂直平分线上两点,连DB、DC、EB、EC,则∠DBC与∠DCB的关系是________,∠DBE与∠DCE的关系是________.
第8题.等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°
,则这个三角形各内角度数是________.第9题.等腰三角形有一个角是50°
,那么其他两个角的度数是____________.第10题.如图5,AB=AC,FD⊥BC于D,DE⊥AB于E,若∠AFD=145°
,则∠EDF=______.A
F图E图6
BD
DC第11题.如图6,,ABC是等腰三角形,D为BC上一点,DE∥AB且交AC于E,请判断△EDC是什么三角形?
并说明理由.
第12题.如图7,已知AE平分∠DAC,AE
∥BC,那么AB=AC吗?
请简要说明理由.
A
PE图图P图9
BC
MQN
第13题.如图8,PQ为Rt△MPN斜边上的高,∠M=45°
,则图中等腰三角形的个数是()A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第14题.等腰三角形的两边长为3和6,则这个三角形的周长为()
A.9
B.12C.15D.12或1
第15题.如图9,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°
,P是△ABC内一点,∠PCB=∠PCA,且∠PBC=∠PBA,则∠BPC度数为()A.115°
B.100°
C.130°
D.140°
第16题.下列命题正确的个数是()
①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等,那么过这点与顶点的直线必垂直于底边;
②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段,那么延长线段的两个端点与顶点距离相等;
③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;
④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等.A.1个B.2个C.3个D.4个
第17题.等腰三角形顶角是84°
,则一腰上的高与底边所成的角的度数是()A.42°
B.60°
C.36°
D.46°
第18题.等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是()A.120°
B.150°
C.60°
D.90°
第19题.如图10,∠ABC中,AD⊥BC,AB=AC,∠BAD=30°
,且AD=AE,则∠EDC等于()A.10°
B.12.5°
C.15°
D.20°
图10
图11
图12
EB
D
第20题.如图11,△ABC中,点D在AC上,且AB=AD,∠ABC=∠C+30°
,则∠CBD等于()
A.15°
B.18°
C.20°
D.°
第21题.已知:
如图12,AB=AC,BD⊥AC,请探索∠DBC与∠A的关系并说明理由.
第22题.如果一个三角形的一条边上的中点到其他两边的距离相等,那么它一定是()
A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形
D.不等腰钝角三角形
第23题.如下图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°
,BD、CE分别E
是∠ABC、∠ACB的平分线,则图中等腰三角形的个数为()A.12B.10C.9
D.8
B第24题.一个等腰三角形的一个内角为90°
,那么这个等腰三角形的一个底角为(C
)
A.90°
B.45°
C.50°
第25题.等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm,则它的周长为()A.37cm
B.29cm
C.37cm或29cm
D.无法确定第26题.△ABC中,∠ACB=90°
,DE是AB的
垂直平分线,且∠BAD∶∠CAB=1∶3,则∠B等于_______度.第27题.已知Rt△ABC是轴对称图形,且∠C=90°
,那么∠B=_____度,∠A=______度;
点A的对应点是______,点C的对应点是_______.
AE
第28题.在△ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P,则第29题.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E分别是BC且满足AD=AE=BD=CE,则图中与∠B相等的角有________个角,
分别是________________________.图中全等的三角形有________________________________
第30题.已知线段a,b(a>
2b),以a、b为边作等腰三角形,则()A.只能作以a为底边的等腰三角形
B.只能作以b为底边的等腰三角形C.可以作分别以a、b为底的等腰三角形D.不能作符合条件的等腰三角形AD
B第31题.如图,在△ABC中,BC=5cm,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,且PD∥AB,PE∥
AC,则△PDE的周长是___________cm.
第32题如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则对△ADE的形状最准备的判断()
A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定形状
二、解答题
1.如图,已知AB=AC,E、D分别在AB、AC上,BD与CE交于点F,?
且∠ABD=?
∠ACE,
求证:
BF=CF.
ED
F
D2.如图,△ABC中BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于F交BC于E,?
△DBE是等腰三角形.E
FC
3.如图,已知:
点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证:
BD=CE
4.如图:
△ABC中,AB=AC,PB=PC.求证:
AD⊥BC
5.已知:
如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点.求证:
HB=HC
6.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°
,AD⊥AC交BC?
于点D,?
求证:
?
BC=3AD.A
7.如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE?
都是等边三角形.BDBE交AC于FC,A
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