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3、棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分
以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
用各顶点字母,如四棱台ABCD—A'
B'
C'
D'
几何特征:
?
上下底面是相似的平行多边形?
侧面是梯形?
侧棱交于原棱锥的顶点
4、圆柱
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
底面是全等的圆;
母线与轴平行;
轴与底面圆的半径垂直;
侧面展开图是一个矩形。
5、圆锥
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体
底面是一个圆;
母线交于圆锥的顶点;
侧面展开图是一个扇形。
6、圆台
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分
上下底面是两个圆;
侧面母线交于原圆锥的顶点;
侧面展开图是一个弓形。
球体
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体
球的截面是圆;
球面上任意一点到球心的距离等于半径。
※空间几何体的结构特征:
面(侧面、上底面、下底面)、棱、顶点、轴
1.2空间几何体的三视图和直观图
1、中心投影与平行投影
中心投影:
把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。
平行投影:
在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。
2、三视图
正视图:
从前往后
侧视图:
从左往右
俯视图:
从上往下
画三视图的原则:
长对齐、高对齐、宽相等3、直观图:
斜二测画法
斜二测画法的步骤:
(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2).平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;
(3).画法要写好。
用斜二测画法画出长方体的步骤:
(1)画轴
(2)画底面(3)画侧棱(4)成图
1.3空间几何体的表面积与体积
(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
h
(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线)
1S,ch'
正棱锥侧面积S,chS,,rlS,2,rh圆锥侧面积直棱柱侧面积圆柱侧2
1S,(c,c)h'
12正棱台侧面积S,(r,R),l圆台侧面积222,,S,,rr,l,,S,2,rr,lS,,,,r,rl,Rl,R圆锥表圆柱表圆台表(3)柱体、锥体、台体的体积公式
1122V,,rhVSh,圆锥锥VSh,VShrh,,,柱圆柱33
111'
22'
,,,,,,VSSSShrrRRh()()VSSSSh,,,()圆台台33343,R2球球面4,R3(4)球体的表面积和体积公式:
V=;
S=
第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
平面:
公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在
此平面内。
公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面
公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只
只有一条过改点的公共直线
线线关系:
1空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:
同一平面内,有且只有一个公共点;
共面直线平行直线:
同一平面内,没有公共点;
异面直线:
不同在任何一个平面内,没有公共点。
公理4:
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:
设a、b、c是三条直线
a?
b=>
c
c?
b
强调:
公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都
适用。
公理4作用:
判断空间两条直线平行的依据
线面位置关系
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点(3)直线在平面平行——没有公共点指出:
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用aα来表示
aαa?
α=Aa?
α4、面面关系
平行——没有公共点;
α?
β
相交——有一条公共直线。
β,b
2.2直线、平面平行的判定及其性质
1、线面平行判定
定理:
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行,符号表示:
作用:
直线与平面的判定定理
2、面面平行
一个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则这两个平面平行,
证面面平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
1、线面垂直
一条直线与一个平面内的两条直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
证线面垂直
线面角:
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。
※在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:
(1)斜线上一点到面的垂线;
(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。
2、面面垂直
(1)定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
证面面垂直
(2)二面角:
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。
(3)二面角的平面角:
以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。
(4)直二面角:
平面角是直角的二面角叫直二面角。
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;
反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角
(5)求二面角的方法
定义法:
在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法:
已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面两个面的交线所成的角为二面角的平面角
3、垂直关系的性质定理
线面垂直性质定理:
如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
面面垂直的性质定理:
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
第三章直线与方程
3.1直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此,倾斜角的取值范围是0?
α,180?
(2)直线的斜率
倾斜角不是90?
的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的
k,tan,斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
,,,,,,,,,,0,90,,90,180k,0k,0,,90当时,;
当时,;
当时,k不存在。
y,y21k,(x,x)12x,x21?
过两点的直线的斜率公式:
x,x12注意:
(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90?
;
(2)k与P1、P2的顺序无关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
3.2直线的方程
y,y,k(x,x),,x,y1111?
点斜式:
直线斜率k,且过点注意:
当直线的斜率为0?
时,k=0,直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90?
时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示(但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。
y,kx,b?
斜截式:
,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为byyxx,,11,yyxx,,xxyy,,,,,x,y,,x,y212112121122?
两点式:
()直线两点,
xy,,1ab?
截矩式:
(,0)a(0,)byyllxx其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距
ab,分别为。
Ax,By,C,0?
一般式:
(A,B不全为0)注意:
1各式的适用范围?
2特殊的方程如:
y,b平行于x轴的直线:
(b为常数);
平行于y轴的直线:
x,a(a为常数);
(5)直线系方程:
即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
Ax,By,C,0A,B00000平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线
Ax,By,C,000系:
(C为常数)
(二)过定点的直线系
,,y,y,kx,x,,x,y0000(?
)斜率为k的直线系:
,直线过定点;
l:
Ax,By,C,0l:
Ax,By,C,022221111(?
)过两条直线,的交点的直线系方程为
l,,,,Ax,By,C,,Ax,By,C,0,2111222(为参数),其中直线不在直线系中。
(6)两直线平行与垂直
y,kx,bl:
y,kx,b111222当,时,
l//l,k,k,b,bl,l,kk,,11212121212;
注意:
利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
3.3直线的交点坐标与距离公式
1、两条直线的交点
Ax,By,C,011112222相交
,,,0AxByC,111,Ax,By,C,0222,交点坐标即方程组的一组解。
ll,l//l,1212方程组无解;
方程组有无数解与重合
AxyBxy(,),,()11222、两点间距离公式:
设是平面直角坐标系中的两个点,
22||()()ABxxyy,,,,2121则
,,Px,yl:
Ax,By,C,00013、点到直线距离公式:
一点到直线的距离
Ax,By,C00d,22A,B
4、两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。
第四章圆与方程
4.1圆的方程
1、圆的定义:
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点
为圆心,定长为圆的半径。
2、圆的方程
222,,a,b,,,,x,a,y,b,r
(1)标准方程,圆心,半径为r;
22x,y,Dx,Ey,F,0
(2)一般方程
DE,,,,,,,22D,E,4F,022,,当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为
122r,D,E,4F22222D,E,4F,0D,E,4F,0当时,表示一个点;
当时,方程不表示任何图形。
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:
先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;
若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:
如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。
4.2直线、圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
222,,Ca,bl:
Ax,By,C,0,,,,C:
x,a,y,b,r
(1)设直线,圆,圆心到l
Aa,Bb,Cd,22d,r,l与C相离d,r,l与C相切A,B的距离为,则有;
d,r,l与C相交
222l:
x,a,y,b,r
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