平面向量的数量积的物理背景及其含义Word格式.docx
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2.学案导学:
见后面的学案。
3.新授课教学基本环节:
预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1.学生的学习准备:
预习学案。
2.教师的教学准备:
多媒体课件制作,课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。
。
七、课时安排:
1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。
(二)情景导入、展示目标。
创设问题情景,引出新课
1、提出问题1:
请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?
这些运算的结果是什么?
期望学生回答:
向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2:
请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?
我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的?
物理模型→概念→性质→运算律→应用
3、新课引入:
本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算:
平面向量数量积的物理背景及其含义
(三)合作探究,精讲点拨
探究一:
数量积的概念
1、给出有关材料并提出问题3:
(1)如图所示,一物体在力F的作用下产生位移S,
那么力F所做的功:
W=|F||S|cosα。
(2)这个公式的有什么特点?
请完成下列填空:
①W(功)是量,
②F(力)是量,
③S(位移)是量,
④α是。
(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积
2、明晰数量积的定义
(1)数量积的定义:
已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量︱︱︱b︱cos叫做与的数量积(或内积),记作:
,即:
=︱︱︱︱
(2)定义说明:
①记法“”中间的“”不可以省略,也不可以用“”代替。
②“规定”:
零向量与任何向量的数量积为零。
(3)提出问题4:
向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?
影响数量积大小的因素有哪些?
线性运算的结果是向量,而数量积的结果则是数,这个数值的大小不仅和向量与的模有关,还和它们的夹角有关。
(4)学生讨论,并完成下表:
的范围
0°
≤90°
=90°
≤180°
的符号
例1:
已知||=3,||=6,当①∥,②⊥,③与的夹角是60°
时,分别求.
解:
①当∥时,若与同向,则它们的夹角θ=0°
,
∴=||||cos0°
=3×
6×
1=18;
若与b反向,则它们的夹角θ=180°
∴=||||cos180°
(-1)=-18;
②当⊥时,它们的夹角θ=90°
∴=0;
③当与的夹角是60°
时,有
=||||cos60°
=9
评述:
两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°
,180°
],因此,当∥时,有0°
或180°
两种可能.
变式:
对于两个非零向量、,求使|+t|最小时的t值,并求此时与+t的夹角。
探究二:
研究数量积的意义
1.给出向量投影的概念:
如图,我们把││cos(││cos)
叫做向量在方向上(在方向上)的投影,
记做:
OB1=︱││︱2.提出问题5:
数量积的几何意义是什么?
数量积等于的长度︱︱与在的方向上的投影
︱︱cos的乘积。
3.研究数量积的物理意义
请同学们用一句话来概括功的数学本质:
功是力与位移的数量积。
探究三:
探究数量积的运算性质
1、提出问题6:
比较︱︱与︱︱×
︱︱的大小,你有什么结论?
2、明晰:
数量积的性质
3.数量积的运算律
(1)、提出问题7:
我们学过了实数乘法的哪些运算律?
这些运算律对向量是否也适用?
预测:
学生可能会提出以下猜想:
①=
②()=()
③(+)=+
(2)、分析猜想:
猜想①的正确性是显而易见的。
关于猜想②的正确性,请同学们先来讨论:
猜测②的左右两边的结果各是什么?
它们一定相等吗?
左边是与向量共线的向量,而右边则是与向量共线的向量,显然在向量与向量不共线的情况下猜测②是不正确的。
(3)、明晰:
数量积的运算律:
例2、(师生共同完成)已知︱︱=6,︱︱=4,与的夹角为60°
,求(+2)(-3),并思考此运算过程类似于实数哪种运算?
(+2)(-3)=.-3.+2.--3×
4×
0.5-6×
4
=-72
可以和实数做类比记忆数量积的运算律
变式:
(1)(+)2=2+2+2
(2)(+)(-)=2—2
(四)反思总结,当堂检测。
教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。
设计意图:
引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。
(课堂实录)
(五)发导学案、布置预习。
我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义,那么,在下一节课我们一起来学习数量积的坐标运算。
模。
夹角。
这节课后大家可以先预习这一部分,着重分析坐标的作用
布置下节课的预习作业,并对本节课巩固提高。
教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。
九、板书设计
十、教学反思
本课的设计采用了课前下发预习学案,学生预习本节内容,找出自己迷惑的地方。
课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等,最后进行当堂检测,课后进行延伸拓展,以达到提高课堂效率的目的。
我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格,其次将数量积的几何意义提前,这样使学生从代数和
几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。
通过尝试练习,一方面使学生尝试计算数量积,另一方面使学生理解数量积的物理意义,同时也为数量积的性质埋下伏笔。
数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸,教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现,为了让学生很好的完成这两个探究活动,我始终按照先创设一定的情景,让学生去发现结论,教师明晰后,再由学生或师生共同完成证明。
比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到,数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到,这样不仅使学生感到亲切自然,同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。
临清三中数学组编写人:
王晓燕审稿人:
刘桂江李怀奎
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
课前预习学案
一、预习目标:
预习平面向量的数量积及其几何意义;
平面向量数量积的重要性质及运算律;
二、预习内容:
1.平面向量数量积(内积)的定义:
2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
3.“投影”的概念:
作图
4.向量的数量积的几何意义:
5.两个向量的数量积的性质:
设、为两个非零向量,e是与同向的单位向量.
1&
#61616;
e&
#61655;
2&
&
#61534;
#61659;
设、为两个非零向量,e是与同向的单位向量.
=&
&
当与同向时,&
=当与反向时,&
=特别的&
=||2或
4&
cos&
#61553;
|&
|≤||||
三、提出疑惑:
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容内探究学案
一、学习目标
1说出平面向量的数量积及其几何意义;
2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律;
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;
学习重难点:
平面向量的数量积及其几何意义
二、学习过程
3、新课引入:
平面向量数量积的物理背景及其含义
数量积的概念
W=
已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量︱︱︱︱cos叫做与的数量积(或内积),记作:
(4)学生讨论,并完成下表:
对于两个非零向量、,求使|+t|最小时的t值,并求此时与+t的夹角.
探究三:
探究数量积的运算性质
比较︱︱与︱︱×
2、明晰:
数量积的性质数量
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- 平面 向量 数量 物理 背景 及其 含义
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