第六讲几何图形的计数问题Word格式文档下载.docx
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算式为4+3+2+1=10。
图6-1(e)中有A、B、C、D、E、F六个点,这六个点将线段分割成AB、BC、CD、DE、EF五条小线段;
这五条小线段中的任意相邻两条小线段连起来又组成四条新线段AC、BD、CE、DF;
然后将相邻三条小线段连在一起又组成三条新线段AD、BE、CF;
再将相邻四条小线段连起来又组成两条新线段AE、BF;
最后五条相邻小线段连起来又组成一条新线段AF。
所以图6-1(e)中共有15条线段。
算式为5+4+3+2+1=15。
将上述几种情况一般化,如果某条线段上共有n个点(包括两个端点),那么这n个点将线段分割成n-1条小线段,这n-1条小线段中,任意相邻两条小线段连起来又都可以组成一条新线段,这样的新线段共有n-2条。
另外,这n-1条小线段中,任意三条相邻小线段连起来又都可以组成一条新线段,这样的新线段共有n-3条。
依此类推,可得:
任意相邻四条小线段连起来组成的新线段共有n-4条。
任意相邻五条小线段连起来组成的新线段共有n-5条。
……
任意相邻n-2条小线段连起来组成的新线段,共有
(n-(n-2)=)2条。
最后相邻的n-1条小线段连起来组成1(=n-(n-1))条新线段。
此时,线段的总条数为
(n-1)+(n-2)+……+2+1
这样便得到如何数类似图6-1中线段总条数的公式:
当一条线段上共n个点(包括两个端点)时,这条线段上线段总条数为:
1+2+…+(n-1)①
即线段总条数为从1开始的(n-1)个连续自然数的和。
把图6-1稍加变化,可得图6-2。
图6-2各图中的三角形有下面两个特点:
一是所有三角形有一个共公的顶点,二是所有三角形的底边都在同一条直线上。
图6-2(a)、(b)、(c)中三角形的个数与底边的个数一样多。
即图6-2(a)中三角形的个数有6个(6=1+2+3),图6-2(b)中三角形的个数有10个(1+2+3+4=10)。
图6-2(c)中三角形的个数有15个(1+2+3+4+5=15)。
这说明公式①还可以用来数类似于图6-2中三角形的总个数。
另外公式①还可以用来数如图6-3中锐角的总个数,即从锐角AOB的顶点O,在其内部引n-1条射线,此时图中锐角的总个数也是:
1+2+…+(n-1)+n
2.数长方形的公式
先看图6-4中有多少个长方形(图中ABCD是一个长方形,长方形内每条竖线都平行于BC,每一条横线都平行于AB)。
这个问题与数线段有十分密切的关系。
由公式知道:
AB边上共有(1+2+3+4+5=)15条线段;
AD边上共有(1+2+3=)6条线段。
把AB边上的每一条线段作为长,AD边上的每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形(包括正方形),所以图6-4中长方形的总数为
(1+2+3+4+5)×
(1+2+3)
一般情况下,如果有类似于图6-4的任一长方形,一边上有n+1个点,其相邻一边上有m+1个点(m、n是自然数);
相邻两点间的距离可以相等,也可以不相等。
过这些点分别做对边的平行线,与另一边相交,这些平行线将原长方形分割成许多长方形,此时图中长方形的总数为:
(1+2+…+n)×
(1+2+…m)②
利用公式②还可以计算图6-5(a)、(b)中平行四边形和梯形的总数。
3.数正方形的公式
分别数出图6-6中各图内的所有正方形的个数(图中每个小格都是正方形)。
为方便起见,我们假定每个小方格的边长为1个长度单位。
图6-6(a)中大正方形边长为2个长度单位,其中边长为1个长度单位的正方形有(2×
2)=4个,边长为2个长度单位的正方形有1个。
所以,正方形总数为
1×
1+2×
2=5(个)
图6-6(b)中大正方形边长为3个长度单位,其中边长为1个长度单位的正方形有(3×
3=)9个,边长为2个长度单位的正方形有(2×
2=)4个,边长为3个长度单位的正方形有1个。
所以,正方形的总数为
2+3×
3=14(个)
图6-6(c)中大正方形边长为4个长度单位,其中边长为1个长度单位的正方形有(4×
4=)16个,边长为2个长度单位的正方形有(3×
3=)9个,边长为3个长度单位的正方形有(2×
2=)4个,边长为4个长度单位的正方形有1个。
3+4×
4=30(个)
图6-6(d)中大正方形边长为5个长度单位。
其中边长为1个长度单位的正方形有(5×
5=)25个,边长为2个长度单位的正方形有(4×
4=)16个,边长为3个长度单位的正方形有(3×
3=)9个,边长为4个长度单位的正方形有(2×
2=)4个,边长为5个长度单位的正方形有1个。
4+5×
5=55(个)
一般而言,如果类似图6-6中大正方形边长为n个长度单位,那么其中边长为1个长度单位的正方形有(n×
n=)n2个,边长为2个长度单位的正方形有(n-1)×
(n-1=)即(n-1)2个,…,边长为n-2个长度单位的正方形有(3×
3=)9个,边长为n-1个长度单位的正方形有(2×
2=)4个,边长为n个长度单位的正方形有1个。
所以,如果类似图6-6的大正方形各边上都有n个彼此相等的小格,那么图中正方形的总数为
12+22+32+…+n2
③
二、常用的几个简单图形计数公式的一些应用
例1
图6-7中共有多少个三角形?
分析与解:
将图6-7旋转一下,应添上字母得图6-8。
在图6-8中,线段AB将整个图形分为上、下两部分,利用前面的分式①,马上可求出上、下两部分中三角形的个数都是:
1+2+3+4+5+6+7=28(个)。
仔细观察便可发现,除了上面那56个三角形外,还有下列三角形,它们是三角形ACD、ECD、FCD、HCD、ICD、JCD、BCD,共七个。
这一来,图中三角形的总个数为
(1+2+3+4+5+6+7)×
2+7=63(个)
注意:
在计数时,千万不要把三角形ACD等给遗漏了,这是数图形中一个很重要的问题或原则,简称为“不漏”。
例2
图6-9中有多少个正方形(图中所有小格子都是形状与面积一样的正方形)?
为方便起见,我们可以把图形分为正中间、上下、左右三部分。
先看正中间部分。
中间部分是每边有六个相等小格的正方形,按前面提到公式③计算,共有(12+22+32+42+52+62=)91个正方形。
再看上下部分。
因为图形上、下部分是对称的,所以可只看上部分,上部分除了两个小正方形外,还有由四个小正方形拼成的一个较大的正方形,一共有3个正方形,上下部分合起来应添((2+1)×
2=)6个正方形。
最后再看左、右部分,因为图形左右也是对称的,所以可只看左边那部分。
左边那部分除了6个小正方形外,还有4个由四个小正方形拼成的较大的正方形,2个由九个小正方形拼成的较大的正方形,1个由十六个小正方形拼成的较大的正方形。
左、右部分合起来应再添((6+4+2+1)×
2=)26个正方形。
把上述三部分正方形的个数加起来,就得到了问题的答案。
图6-9中共有正方形。
91+6+26=123(个)
例3
图6-10中有多少个长方形(图中所有横线彼此平行,所有竖线彼此平行,且外面的四边形是个长方形)?
为方便起见,把图6-10各顶点和交点标上字母,得图6-11。
把图6-11先分成内外两层。
按前面提到的公式②,长方形ABCD与A1B1C1D1中各有((1+2+3+4)×
(1+2+3)=)60个长方形。
再看上面,夹在长方形ABCD与A1B1C1D1之间的长方形GG1H1H、H1I1IH、GG1I1I不包含在上面那些长方形中,另外还有长方形GN1M1H、HM1L1I、GN1L1I也不包含在上面已提到的那些长方形中,同样下面也有长方形N1NMM1、MM1L1L、NN1L1L、NG1H1M、M1H1I1L、NG1I1L也不包含上面已提到的那些长方形中,所以应在内外两层(60×
2=)120个长方形外,再添加刚才提到的(6×
2=)12个长方形。
再看左边,和刚才讨论上面情况一样,应加上长方形EFF1E1、EFJ1R1。
同样右边也应添上长方形JKK1J1、KE1F1L。
所以应在刚才所提及的长方形外,再添加刚才提到的(2×
2=)4个长方形。
另外中间的长方形PQQ1P1、QQ1R1R1、PRR1P1,在计算长方形ABCD与A1B1C1D中的个数时,这三个长方形都计算了一次,因此重复了,故在计算总数时,应减去这重复的三个长方形。
把上面三种情况所得出的长方形个数相加,然后减去重复的那3个长方形,便是题目的结果。
故图6-10中长方形的总数为
60×
2+6×
2+2×
2-3=133(个)
做此题时,有人常常忘记了从总数中减去重复计算过两次的三个长方形,所以在数图形个数时,不但要避免遗漏也要避免重复,这也是数图形中一个很重要的问题或原则,简称“不重”。
为了避免犯这两个错误,以后在数简单图形个数时,一定要记住“不重不漏”的原则。
1.图6-12的各图中各有多少条线段?
2.图6-13的各图中各有多少个三角形?
3.图6-14的各图中各有多少个锐角?
4.数一数图6-15中有多少个三角形?
5.图6-16的各图中各有多少个长方形(图(a)和图(b)最外边的四边形都是一个长方形,另外,两图中所有横线段彼此平行,所有竖线段彼此平行)
6.图6-17的各图中有多少个正方形(图中每个小格四边形是形状、面积都一样的正方形)?
7.数一数图6-18中有多少个平行四边形(图中最外边的四边形是平行四边形,另外横线段彼此平行,斜线段也彼此平行)?
8.数一数图6-19中有多少个梯形(图中最外层的四边形是梯形,另外的所有横线段彼此平行,斜线段彼此都不平行)?
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- 第六 几何图形 计数 问题