等差数列的前n项和例题解析Word文档格式.docx
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解由已知,第一个数列的通项为an=3n-1;
第二个数列的通项为bN=5N-3
若am=bN,则有3n-1=5N-3
若满足n为正整数,必须有N=3k+1(k为非负整数).
又2≤5N-3≤197,即1≤N≤40,所以
N=1,4,7,…,40n=1,6,11,…,66
∴两数列相同项的和为
2+17+32+…+197=1393
【例3】选择题:
实数a,b,5a,7,3b,…,c组成等差数列,且a+b+5a+7+3b+…+c=2500,则a,b,c的值分别为
[]
A.1,3,5 B.1,3,7
C.1,3,99 D.1,3,9
又∵14=5a+3b,
∴a=1,b=3
∴首项为1,公差为2
∴a50=c=1+(50-1)·
2=99
∴a=1,b=3,c=99
【例4】在1和2之间插入2n个数,组成首项为1、末项为2的等差数列,若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为9∶13,求插入的数的个数.
解依题意2=1+(2n+2-1)d ①
由①,有(2n+1)d=1 ⑤
∴共插入10个数.
【例5】在等差数列{an}中,设前m项和为Sm,前n项和为Sn,且Sm=Sn,m≠n,求Sm+n.
且Sm=Sn,m≠n
∴Sm+n=0
【例6】已知等差数列{an}中,S3=21,S6=64,求数列{|an|}的前n项和Tn.
d,已知S3和S6的值,解方程组可得a1与d,再对数列的前若干项的正负性进行判断,则可求出Tn来.
解方程组得:
d=-2,a1=9
∴an=9+(n-1)(n-2)=-2n+11
其余各项为负.数列{an}的前n项和为:
∴当n≤5时,Tn=-n2+10n
当n>6时,Tn=S5+|Sn-S5|=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn
∴Tn=2(-25+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50
说明根据数列{an}中项的符号,运用分类讨论思想可求{|an|}的前n项和.
【例7】在等差数列{an}中,已知a6+a9+a12+a15=34,求前20项之和.
解法一由a6+a9+a12+a15=34
得4a1+38d=34
=20a1+190d
=5(4a1+38d)=5×
34=170
由等差数列的性质可得:
a6+a15=a9+a12=a1+a20∴a1+a20=17
S20=170
【例8】已知等差数列{an}的公差是正数,且a3·
a7=-12,a4+a6=-4,求它的前20项的和S20的值.
解法一设等差数列{an}的公差为d,则d>0,由已知可得
由②,有a1=-2-4d,代入①,有d2=4
再由d>0,得d=2∴a1=-10
最后由等差数列的前n项和公式,可求得S20=180
解法二由等差数列的性质可得:
a4+a6=a3+a7即a3+a7=-4
又a3·
a7=-12,由韦达定理可知:
a3,a7是方程x2+4x-12=0的二根
解方程可得x1=-6,x2=2
∵d>0∴{an}是递增数列
∴a3=-6,a7=2
【例9】等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若
∵2a100=a1+a199,2b100=b1+b199
解法二利用数列{an}为等差数列的充要条件:
Sn=an2+
bn
可设Sn=2n2k,Tn=n(3n+1)k
说明该解法涉及数列{an}为等差数列的充要条件Sn=an2+bn,由
k是常数,就不对了.
【例10】解答下列各题:
(1)已知:
等差数列{an}中a2=3,a6=-17,求a9;
(2)在19与89中间插入几个数,使它们与这两个数组成等差数列,并且此数列各项之和为1350,求这几个数;
(3)已知:
等差数列{an}中,a4+a6+a15+a17=50,求S20;
(4)已知:
等差数列{an}中,an=33-3n,求Sn的最大值.
分析与解答
a9=a6+(9-6)d=-17+3×
(-5)=-32
(2)a1=19,an+2=89,Sn+2=1350
(3)∵a4+a6+a15+a17=50
又因它们的下标有4+17=6+15=21
∴a4+a17=a6+a15=25
(4)∵an=33-3n∴a1=30
∵n∈N,∴当n=10或n=11时,Sn取最大值165.
【例11】求证:
前n项和为4n2+3n的数列是等差数列.
证设这个数列的第n项为an,前n项和为Sn.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1
∴an=(4n2+3n)-[4(n-1)2+3(n-1)]
=8n-1
当n=1时,a1=S1=4+3=7
由以上两种情况可知,对所有的自然数n,都有an=8n-1
又an+1-an=[8(n+1)-1]-(8n-1)=8
∴这个数列是首项为7,公差为8的等差数列.
说明这里使用了“an=Sn-Sn-1”这一关系.使用这一关系时,要注意,它只在n≥2时成立.因为当n=1时,Sn-1=S0,而S0是没有定义的.所以,解题时,要像上边解答一样,补上n=1时的情况.
【例12】证明:
数列{an}的前n项之和Sn=an2+bn(a、b为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件.
由Sn=an2+bn,得
=an2+bn-a(n-1)2-b(n-1)
=2na+b-a
a1=S1=a+b
∴对于任何n∈N,an=2na+b-a
且an-an-1=2na+(b-a)-2(n-1)a-b+a
=2a(常数)
∴{an}是等差数列.
若{an}是等差数列,则
Sn=an2+bn
综上所述,Sn=an2+bn是{an}成等差数列的充要条件.
说明由本题的结果,进而可以得到下面的结论:
前n项和为Sn=an2+bn+c的数列是等差数列的充分必要条件是c=0.事实上,设数列为{un},则:
【例13】等差数列{an}的前n项和Sn=m,前m项和Sm=n(m>n),求前m+n项和Sm+n.
解法一设{an}的公差d
按题意,则有
=-(m+n)
解法二设Sx=Ax2+Bx(x∈N)
①-②,得A(m2-n2)+B(m-n)=n-m
∵m≠n∴A(m+n)+B=-1
故A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n)
即Sm+n=-(m+n)
说明a1,d是等差数列的基本元素,通常是先求出基本元素,再
解的“整体化”思想,在解有关数列题目中值得借鉴.解法二中,由于是等差数列,由例22,故可设Sx=Ax2+Bx.(x∈N)
【例14】在项数为2n的等差数列中,各奇数项之和为75,各偶数项之和为90,末项与首项之差为27,则n之值是多少?
解∵S偶项-S奇项=nd
∴nd=90-75=15
又由a2n-a1=27,即(2n-1)d=27
【例15】在等差数列{an}中,已知a1=25,S9=S17,问数列前多少项和最大,并求出最大值.
解法一建立Sn关于n的函数,运用函数思想,求最大值.
∵a1=25,S17=S9解得d=-2
∴当n=13时,Sn最大,最大值S13=169
解法二因为a1=25>0,d=-2<0,所以数列{an}是递减等
∵a1=25,S9=S17
∴an=25+(n-1)(-2)=-2n+27
即前13项和最大,由等差数列的前n项和公式可求得S13=169.
解法三利用S9=S17寻找相邻项的关系.
由题意S9=S17得a10+a11+a12+…+a17=0
而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14
∴a13+a14=0,a13=-a14∴a13≥0,a14≤0
∴S13=169最大.
解法四根据等差数列前n项和的函数图像,确定取最大值时的n.
∵{an}是等差数列
∴可设Sn=An2+Bn
二次函数y=Ax2+Bx的图像过原点,如图3.2-1所示
∵S9=S17,
∴取n=13时,S13=169最大
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- 等差数列 例题 解析
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