北师版数学选修23讲义第1章 1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理Word格式.docx

北师版数学选修23讲义第1章 1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理Word格式.docx

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（3）从甲地到乙地有两类交通方式：

坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种．（　　）

（4）某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种．（　　）

【解析】　

（1）×

　在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的．

（2）√　在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事．

（3）√　由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7（种）不同的交通方式．

（4）√　根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8＋6＝14（种）．

【答案】　

（1）×

（2）√　（3）√　（4）√

教材整理2　分步乘法计数原理

阅读教材P4，完成下列问题．

完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝________种方法．（也称乘法原理）

【答案】　m1×

m2×

…×

mn

（1）在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．（　　）

（2）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．（　　）

（3）已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·

y可表示不同的值的个数为9个．（　　）

（4）在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种．（　　）

【解析】　

（1）√　因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同．

（2）×

　因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．

（3）√　因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·

y可表示3×

3＝9个不同的值．

（4）×

　因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况．

【答案】　

（1）√　

（2）×

　（3）√　（4）×

[质疑·

手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

疑问3：

[小组合作型]

分类加法计数原理的应用

（1）从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？

（2）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

【精彩点拨】　

（1）按所选组长来自不同班级为分类标准．

（2）按个位（或十位）取0～9不同的数字进行分类．

【自主解答】　

（1）分四类：

从一班中选一人，有4种选法；

从二班中选一人，有5种选法；

从三班中选一人，有6种选法；

从四班中选一人，有7种选法．

共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．

（2）法一　按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（个）．

法二　按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个）．

1．应用分类加法计数原理解题的策略

（1）标准明确：

明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法．

（2）不重不漏：

完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏．

（3）方法独立：

确定的每一类方法必须能独立地完成这件事．

2．利用分类加法计数原理解题的一般思路

[再练一题]

1．

（1）某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有（　　）

A．1种　　　B．2种　　　

C．3种　　　D．4种

（2）有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法.

【导学号：

62690000】

【解析】　

（1）分两类：

买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种．故选C.

（2）有三类不同方案：

第一类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；

第二类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；

第三类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．

其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类加法计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种．

【答案】　

（1）C　

（2）15

分步乘法计数原理的应用

　一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码（各位上的数字允许重复）?

【精彩点拨】　根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理．

【自主解答】　按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：

第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；

第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；

第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；

第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.

根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×

10×

10＝10000个四位数的号码．

1．应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．

2．利用分步乘法计数原理解题的一般思路

（1）分步：

将完成这件事的过程分成若干步；

（2）计数：

求出每一步中的方法数；

（3）结论：

将每一步中的方法数相乘得最终结果．

2．张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种．问：

张涛共有多少种不同的理财方式？

【解】　由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．

第一步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；

第二步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式．

由分步乘法计数原理，得2×

3＝6种．

[探究共研型]

两个计数原理的辨析

探究1　某大学食堂备有6种荤菜，5种素菜，3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？

若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？

【提示】　“完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成．而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”．

探究2　在探究1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？

为什么？

【提示】　要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成．只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配成套餐”这件事．

探究3　在探究1中，若要配成“一素一汤套餐”，试问可配成多少种不同的套餐？

你能分别用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解吗？

你能说明分类加法计数原理与分步乘法计数原理的主要区别吗？

【提示】　5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.

利用分类加法计数原理求解：

以选用5种不同的素菜分类：

选素菜A时，汤有3种选法；

选素菜B时，汤有3种选法；

选素菜C时，汤有3种选法；

选素菜D时，汤有3种选法；

选素菜E时，汤有3种选法．故由加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3＋3＋3＋3＋3＝15（种）不同的套餐．

利用分步乘法计数原理求解：

第一步：

从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；

第二步：

从3种汤中，任选一种共3种不同的选法．

由分步乘法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5×

3＝15（种）不同套餐．

两个计数原理的主要区别在于分类加法计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步乘法计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事．

　有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？

【精彩点拨】　从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为四类，然后每一类再分步完成．即解答本题可“先分类，后分步”．

【自主解答】　第一类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×

2＝4种方法；

第二类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；

第三类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；

第四类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．

根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法．

1．能用分步乘法计数原理解决的问题具有如下特点：

（1）完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；

（2）完成每一步有若干种方法；

（3）把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．

2．利用分步乘法计数原理应注意：

（1）要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；

（2）“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉；

（3）若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成．

3．一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡．

（1）某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？

（2）某人手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？

【解】　

（1）第一类：

从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；

第二类：

从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．

根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法．

（2）第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；

第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据