北京专版中考数学专题突破10新定义问题作业手册文档格式.docx

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给出新定义，学习，应用

1．[2015·

北京]在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙O的反称点的定义如下：

若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图Z10－1为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．

（1）当⊙O的半径为1时．

①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于⊙O的反称点是否存在，若存在，求其坐标；

②点P在直线y＝－x＋2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围．

（2）当⊙C的圆心在x轴上，且半径为1，直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A，B.若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．

图Z10－1

2．[2014·

北京]对某一个函数给出如下定义：

若存在实数M>

0，对于任意的函数值y，都满足－M≤y≤M，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图Z10－2中的函数是有界函数，其边界值是1.

（1）分别判断函数y＝（x>

0）和y＝x＋1（－4<

x≤2）是不是有界函数？

若是有界函数，求其边界值；

（2）若函数y＝－x＋1（a≤x≤b，b>

a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；

（3）将函数y＝x2（－1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位长度，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1?

图Z10－2

3．[2013·

北京]对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：

若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB＝60°

，则称P为⊙C的关联点．

已知点D（，），E（0，－2），F（2，0）．

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D，E，F中，⊙O的关联点是________；

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO＝30°

，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．

图Z10－3

4．[2012·

北京]在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：

若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1－x2|；

若|x1－x2|＜|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1－y2|.

例如：

点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1－3|＜|2－5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图Z10－4（a）中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．

（1）已知点A（－，0），B为y轴上的一个动点．

①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；

②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值．

（2）已知C是直线y＝x＋3上的一个动点，

①如图（b），点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标．

②如图（c），E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．

图Z10－4

平谷一模]b是任意两个不等实数，我们规定：

满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：

当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；

当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y＝－x＋4是闭区间[1，3]上的“闭函数”．

（1）反比例函数y＝是闭区间[1，2015]上的“闭函数”吗？

请判断并说明理由；

（2）若二次函数y＝x2－2x－k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值；

（3）若一次函数y＝kx＋b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）．

2．[2015·

东城一模]定义符号min的含义为：

当a≥b时，min＝b；

当a＜b时，min＝a.如：

min＝－2，min＝－1.

（1）求min；

（2）已知min{x2－2x＋k，－3}＝－3，求实数k的取值范围；

（3）已知当－2≤x≤3时，min{x2－2x－15，m（x＋1）}＝x2－2x－15.直接写出实数m的取值范围．

3．[2015·

海淀二模]如图Z10－5（a），在平面直角坐标系xOy中，已知点A（－1，0），B（－1，1），C（1，0），D（1，1），记线段AB为T1，线段CD为T2，点P是坐标系内一点．给出如下定义：

若存在过点P的直线l与T1，T2都有公共点，则称点P是T1－T2联络点．例如，点P（0，）是T1－T2联络点．

（1）以下各点中，________是T1－T2联络点（填出所有正确的序号）；

①（0，2）；

②（－4，2）；

③（3，2）．

（2）直接在图（a）中画出所有T1－T2联络点所组成的区域，用阴影部分表示．

（3）已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，⊙M上只有一个点为T1－T2联络点，

①若r＝1，求点M的纵坐标；

②求r的取值范围．

图Z10－5

4．[2015·

门头沟一模]如图Z10－6，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的顶点为M，直线y＝m与x轴平行，且与抛物线交于点A和点B，如果△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M称为碟顶，线段AB的长称为碟宽．

图Z10－6

（1）抛物线y＝x2的碟宽为________，抛物线y＝ax2（a＞0）的碟宽为________．

（2）如果抛物线y＝a（x－1）2－6a（a＞0）的碟宽为6，那么a＝________．

（3）将抛物线yn＝anx2＋bnx＋cn（an＞0）的准蝶形记为Fn（n＝1，2，3，…），我们定义F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果Fn与Fn－1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn－1的碟宽的中点，现在将

（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1.

①求抛物线y2的函数解析式．

②请判断F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是否在一条直线上？

如果是，直接写出该直线的函数解析式；

如果不是，说明理由．

图Z10－7

5．[2015·

朝阳一模]定义：

对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP＋MQ为PQ的“等高距离”．

（1）若P（1，2），Q（4，2）．

①在点A（1，0），B（，4），C（0，3）中，PQ的“等高点”是________；

②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值．

（2）若P（0，0），PQ＝2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．

图Z10－8

6．[2015·

通州一模]如图Z10－9，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），B（6，3），连接AB.若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“邻近点”．

（1）判断点D（，）是否是线段AB的“邻近点”．________（填“是”或“否”）；

（2）若点H（m，n）在一次函数y＝x－1的图象上，且是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围；

（3）若一次函数y＝x＋b的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b的取值范围．

图Z10－9

7．[2015·

海淀一模]在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：

若b′＝则称点Q为点P的限变点．例如：

点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是.

（1）①点的限变点的坐标是________；

②在点A，B中有一个点是函数y＝的图象上某一个点的限变点，这个点是________．

（2）若点P在函数y＝－x＋3（－2≤x≤k，k>

－2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是－5≤b′≤2，求k的取值范围．

（3）若点P在关于x的二次函数y＝x2－2tx＋t2＋t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m>

n.令s＝m－n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．

图Z10－10

8．[2015·

西城一模]给出如下规定：

两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离．

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．

（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为________，点C（－2，3）和射线OA之间的距离为________．

（2）如果直线y＝x和双曲线y＝之间的距离为，那么k＝________．（可在图Z10－11（a）中进行研究）

（3）点E的坐标为（1，），将射线OE绕原点O逆时针旋转60°

，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M.

①请在图（b）中画出图形M，并描述图形M的组成部分；

（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）

②将射线OE，OF组成的图形记为图形W，抛物线y＝x2－2与图形M的公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离．

图Z10－11

参考答案

北京真题体验

1.解：

（1）①点M（2，1）关于⊙O的反称点不存在．

点N（，0）关于⊙O的反称点存在，反称点N′（，0）．

点T（1，）关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）．

②如图①，直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点E（2，0），点F（0，2）．

设点P的横坐标为x.

（i）当点P在线段EF上，即0≤x≤2时，0＜OP≤2，

∴在射线OP上一定存在一点P′，使得OP＋OP′＝2，

∴点P关于⊙O的反称点存在，其中点P与点E或点F重合时，OP＝2，点P关于⊙O的反称点为O，不符合题意，∴0＜x＜2.

（ii）当点P不在线段EF上，即x＜0或x＞2时，OP＞2，

∴对于射线OP上任意一点P′，总有OP＋OP′＞2，

∴点P关于⊙O的反称点不存在．

综上所述，点P的横坐标x的取值范围是0＜x＜2.

（2）若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，则1＜CP≤2.

依题意可知点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），∠BAO＝30°

.

设圆心C的坐标为（x，0）．

①当x＜6时，过点C作CH⊥AB于点H，如图②，

∴0＜