《运筹学教程》第三章习题答案文档格式.docx
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所以
3
(1).minp=6y1+2y2
s.t.-y1+2y2≥-3
3y1+3y2≥4
y1,y2≥0
(2)解:
令X2=X2′-X2〞,X4=X4′-X4〞,X2′,X2〞,X4′,X4〞≥0,原式化为:
maxz=2X1+2X2′-2X2〞-5X3+2X4′-2X4〞
s.t.2X1-X2′+X2〞+3X3+3X4′-3X4〞≤-5
-2X1+X2′-X2〞-3X3-3X4′+3X4〞≤5
-6X1-5X2′+5X2〞+X3-5X4′+5X4〞≤-6
10X1-9X2′+9X2〞+6X3+4X4′-4X4〞≤12
X1,X2′,X2〞,X3,X4′,X4〞≥0
则对偶规划为:
.
minp=-5y1′+5y1〞-6y2+12y3
s.t.2y1′-2y1〞-6y2+10y3≥2
-y1′+y1〞-5y2-9y3≥2
y1′-y1〞+5y2+9y3≥-2
3y1′-3y1〞+y2+6y3≥-5
3y1′-3y1〞-5y2+4y3≥2
-3y1′+3y1〞+5y2-4y3≥-2
即:
-y1′+y1〞-5y2-9y3=2
3y1′-3y1〞+5y2+4y3=2
令y1〞-y1′=y1,得:
minp=5y1-6y2+12y3
s.t.-2y1-6y2+10y3≥2
y1-5y2-9y3=2
-3y1+y2+6y3≥-5
-3y1-5y2+4y3=2
4、试用对偶理论讨论下列原问题与他们的对偶问题是否有最优解。
(1)
解:
其对偶问题为:
由图中可知,对偶问题无解,根据对偶理论,原问题也无解。
(2)
从图中可知,当()=(0,-2)时,目标函数有最优值,=-12,根据对偶理论,原问题最优值与对偶问题相同,为=-12。
5.考虑如下线性规划
(1)写出对偶线性规划;
(2)用单纯形法解对偶规划,并在最优表中给出原规划的最优解;
(3)说明这样做比直接求解原规划的好处。
(1)对偶线性规划为:
(2)将原规划的对偶规划化为标准形式:
得到其初始单纯形表,经过两次旋转运算后得到最优表,最优解为,最优值为,因此原规划的最优解为,最优值为。
(3)这样做的好处是不用引入人工变量,对偶规划中的约束条件均为非大于号,可以直接运用单纯形法。
基础变量
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
y8
常数项
1
2
3
5
-p
-7
-8
-6
-5
-1
8
16
6
22
6、用对偶单纯形方法,求解下面问题。
(1)minf=5X1+3X2+4X3
2X1+3X2+2X3≥6
4X1+3X2+5X3≥10
X1,X2,X3≥0
(2)maxZ=-X1-3X2-3X3
2X1-3X2+X3≥4
X1+2X2+2X3≤8
2X2-X3≤2
(1)先将此问题化成下列形式:
maxZ=-5X1-3X2-4X3
-2X1-3X2-2X3+X4=-6
-4X1-3X2-5X3+X5=-10
Xi≥0(i=1,2,3,4,5)
建立此问题的初始单纯形表并进行运算如下:
Cj
-4
-3
CB
XB
b
X1
X2
X3
X4
X5
-2
-10
5/4
4/5
-2/5
-9/5
3/5
-1/5
-3/5
-4/5
9/2
1/3
1/2
10/9
2/9
-5/9
4/3
2/3
-1/3
-5/3
-2/3
原问题的对偶规划问题为:
MaxP=6Y1+Y2
2Y1+4Y2≤5
3Y1+3Y2≤3
2Y1+5Y2≤4
Y1,Y2≥0
最终表中b列数字全为非负,检验数全为非正,所以得出原问题最优解与最优值分别为:
X*=(0,10/9,4/3)T
f*=3×
(10/9)+4×
(4/3)=26/3
对偶问题的最优解与最优值分别为:
Y*=(1/3,2/3)T
P*=6×
(1/3)+10×
(2/3)=26/3=f*
(2)先将此问题化成下列形式:
maxZ=-X1-3X2-2X3
-2X1+3X2-X3+X4=-4
X1+2X2+2X3+X5=8
2X2-X3+X6=2
Xi≥0(i=1,2,3,4,5,6)
X6
-3/2
-1/2
7/2
3/2
-9/2
MinP=-4Y1+8Y2+2Y3
-2Y1+Y2≥-1
3Y1+2Y2+2Y3≥-3
-Y1+2Y2-Y3≥-2
Y1,Y2,Y3≥0
X*=(2,0,0)T
Z*=-1×
2=-2
Y*=(1/2,0,0)T
P*=-4×
(1/2)=-2=Z*
7.已知线性规划问题:
写出其对偶问题,并求一个对偶问题的可行解。
其对偶问题为
在可行域中任取可行解:
。
8、考虑下面线性规划
maxZ=2X1+3X2
2X1+2X2+X3=12
X1+2X2+X4=8
4X1+X5=16
4X2+X6=12
Xj≥0,j=1,2,…,6
其最优单纯形表如表3-7所示,试分析如下问题:
(1)当C2=5时,求新最优解。
(2)当b3=4时,求新最优解。
(3)增加一个约束2X1+2.4X2≤12,对最优解有何影响。
表3-7
基变量
-1/4
4
1/4
-1/8
-14
由最优单纯形表所示结果及灵敏度变动思想求解最优解不变的C2变动范围:
(-3/2)/(1/3)≤△C2≤(-1/8)/(-1/8)
-3≤△C2≤1
即0≤C2≤4
而题设条件为:
新C2=5,超出变动范围,故最优解发生变动,需重新求解。
C2值发生变动后,影响的值,故新的值分别为:
=(-3/2)-(1/2)×
(5-3)=-5/2
=(-1/8)-(-1/8)×
(5-3)=1/8
继续上述最优单纯形表的计算:
-5/2
1/8
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