高中数学 第二章211 离散型随机变量学案 新人教A版选修23文档格式.docx

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随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域

知识点三　离散型随机变量

1．定义：

所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．

2．特征：

（1）可用数字表示．

（2）试验之前可以判断其出现的所有值．

（3）在试验之前不能确定取何值．

（4）试验结果能一一列出．

1．离散型随机变量的取值是任意的实数．（　×

　）

2．随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．（　√　）

3．离散型随机变量是指某一区间内的任意值．（　×

类型一　随机变量的概念

例1　下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？

并说明理由．

（1）某机场一年中每天运送乘客的数量；

（2）某单位办公室一天中接到电话的次数；

（3）明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；

（4）明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．

考点　随机变量及离散型随机变量的概念

题点　随机变量的概念

解　

（1）某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．

（2）某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．

（3）明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．

（4）济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，也可能晚点，故是随机变量．

反思与感悟　随机变量的辨析方法

（1）随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．

（2）随机试验的结果的不确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．

如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．

跟踪训练1　掷均匀硬币一次，随机变量为（　　）

A．掷硬币的次数

B．出现正面向上的次数

C．出现正面向上的次数或反面向上的次数

D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和

答案　B

解析　掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.A项中，掷硬币的次数就是1，不是随机变量；

C项中的标准模糊不清；

D项中，出现正面向上的次数和反面向上的次数的和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，所以不是随机变量．故选B.

类型二　离散型随机变量的判定

例2　下面给出四个随机变量：

①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；

②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；

③某网站未来1小时内的点击量；

④一天内的温度η.

其中是离散型随机变量的为（　　）

A．①②B．③④C．①③D．②④

题点　离散型随机变量的概念

答案　C

解析　①是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出；

②不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出；

③是，1小时内网站的访问次数可一一列出；

④不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出．故选C.

反思与感悟　“三步法”判定离散型随机变量

（1）依据具体情境分析变量是否为随机变量．

（2）由条件求解随机变量的值域．

（3）判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；

否则，不是离散型随机变量．

跟踪训练2　①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数为ξ；

②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；

③体积为1000cm3的球的半径长；

④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是（　　）

A．①②③④B．①②④

C．①③④D．②③④

解析　由题意知③中的球的半径是固定的，可以求出来，所以不是随机变量，而①②④是离散型随机变量．

类型三　用随机变量表示随机试验的结果

例3　写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．

（1）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；

（2）一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.

考点　离散型随机变量的可能取值

题点　离散型随机变量的结果

解　

（1）设所需的取球次数为X，则X＝1,2,3,4，…，10,11，X＝i表示前（i－1）次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1,2,3,4，…，11.

（2）X的所有可能取值为0,1,2,3.

X＝0表示取5个球全是红球；

X＝1表示取1个白球，4个红球；

X＝2表示取2个白球，3个红球；

X＝3表示取3个白球，2个红球．

反思与感悟　解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．

跟踪训练3　写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．

（1）从学校回家要经过3个红绿灯路口，可能遇到红灯的次数ξ；

（2）电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间为ξ分钟．

题点　离散型随机变量的取值

解　

（1）ξ可取0,1,2,3，

ξ＝0表示遇到红灯的次数为0；

ξ＝1表示遇到红灯的次数为1；

ξ＝2表示遇到红灯的次数为2；

ξ＝3表示遇到红灯的次数为3.

（2）ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．

1．下列变量中，不是随机变量的是（　　）

A．一射击手射击一次命中的环数

B．标准状态下，水沸腾时的温度

C．抛掷两枚骰子，所得点数之和

D．某电话总机在时间区间（0，T）内收到的呼叫次数

解析　B中水沸腾时的温度是一个确定的值．

2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（　　）

A．取到产品的件数B．取到正品的概率

C．取到次品的件数D．取到次品的概率

解析　对于A中取到产品的件数，是一个常量不是变量，B，D也是一个常量，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．

3．下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　）

A．某人早晨在车站等出租车的时间

B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度

C．射击十次，命中目标的次数

D．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性

4．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．

答案　17

解析　X的可能取值为3,4,5，…，19，共17个．

5．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．

解　根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．

1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．

2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：

（1）可用数来表示；

（2）试验之前可以判断其可能出现的所有值；

（3）在试验之前不能确定取值．

一、选择题

1．将一枚均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（　　）

A．两次掷得的点数

B．两次掷得的点数之和

C．两次掷得的最大点数

D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差

答案　A

解析　两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数．

2．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为（　　）

A．0≤X≤5，x∈N

B．－5≤X≤0，x∈Z

C．－1≤X≤6，x∈N

D．－5≤X≤5，x∈Z

答案　D

解析　两次掷出点数均可取1～6所有整数，

所以X∈[－5,5]，x∈Z.

3．下列变量中，离散型随机变量的个数为（　　）

①在2012张已编号（从1号到2012号）的卡片中取一张，被取出的号码为ξ；

②在2012张已编号（从1号到2012号）的卡片中任取三张，被取出的号码和为X；

③某加工厂加工的某种铜管，外径与规定的外径尺寸之差Y；

④投掷一枚骰子，正面向上的点数为ξ.

A．1B．2C．3D．4

解析　③中Y取值在某一区间内，不是离散型随机变量．

4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是（　　）

A．第5次击中目标

B．第5次未击中目标

C．前4次均未击中目标

D．第4次击中目标

解析　ξ＝5表示前4次均未击中目标，故选C.

5．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>

4”表示的试验的结果为（　　）

A．第一枚为5点，第二枚为1点

B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点

C．第一枚为6点，第二枚为1点

D．第一枚为4点，第二枚为1点

6．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，则表示“遇到第5盏信号灯时首次停下”的事件是（　　）

A．Y＝5B．Y＝4

C．Y＝3D．Y＝2

7．一串钥匙有6枚，只有一枚能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直