人教版数学八年级上册122《三角形全等的判定2》名师教案Word文档格式.docx
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A.POB.PQC.MOD.MQ
【知识点】三角形全等的判定方法“SAS”、全等三角形的性质
【解题过程】解:
在△POQ和△NOM中,
∴△POQ≌△NOM(SAS).
∴PQ=MN.故选B.
【思路点拨】用“SAS”判定两个三角形全等,从而可得PQ=MN.
【答案】B.
(2)如图,在和中,已知,,根据(SAS)判定,还需的条件是( )
A.B.C.D.以上三个均可以
【知识点】三角形全等的判定方法“SAS”
用“SAS”判定△ABC≌△DEF.故选B.
【思路点拨】用全等三角形的判定方法“SAS”.
(3)下图中全等的三角形有()
图1 图2 图3 图4
A.图1和图2B.图2和图3C.图2和图4D.图1和图3
用“SAS”判定图1与图3两个三角形全等.故选:
D.
【思路点拨】利用“SAS”判定三角形全等.
【答案】D.
(4)如图所示,在△ABD和△ACE中,AB=AC,AD=AE,要证△ABD≌△ACE,需补充的条件是()
A.∠B=∠CB.∠D=∠EC.∠DAE=∠BACD.∠CAD=∠DAC
∵∠DAE=∠BAC
∴∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC
即:
∠CAE=∠BAD
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE,故选:
C.
【答案】C.
(二)课堂设计
1.知识回顾
(1)能够完全重合的两个图形叫做全等形,完全重合的两个三角形叫做全等三角形;
(2)全等三角形的对应边相等,对应角相等.
(3)边边边公理:
三边分别对应相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)
2.问题探究
探究一:
探索三角形全等的“边角边”的条件.
●活动①回顾旧知,回忆三角形全等的判定方法1
三角形全等的判定方法1
边边边公理:
三边对应相等的两个三角形全等.简写为“边边边”或“SSS”.
用符号语言表达:
在△ABC和△A'
B'
C'
中
∴△ABC≌△A'
(SSS)
【设计意图】通过对旧知识的复习,为新知识的学习作铺垫.
●活动②整合旧知,探究三角形全等的“边角边”的条件.
1.猜一猜:
教师演示:
把两根木条的一端用螺栓固定在一起.
问题1:
连接另两端所成的三角形能唯一确定吗?
问题2:
如果将两条木条之间的夹角(即∠BAC)大小固定,那么△ABC能唯一确定吗?
2.做一做:
(1)用量角器和刻度尺画△ABC,使AB=2cm,BC=2.5cm,∠ABC=60°
.学生动手画图,然后剪下来,再与其他同学进行比较.
(2)将∠ABC的度数换成20°
,再试一试,情况会怎么样?
学生活动:
带着以上两个问题,学生小组合作动手试验,验证猜想.
追问:
通过“猜一猜”和“做一做”,你能归纳两个三角形全等的判定方法吗?
讨论、交流并归纳得出:
在两个三角形中,如果有两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.
【设计意图】通过操作、观察、分析、归纳、总结,让学生体会到成功的喜悦,培养学生的观察、分析能力.
探究二:
掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法★
●活动①集思广益,归纳得出新知识
三角形全等的判定方法2在两个三角形中,如果有两边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等.(简写成“边角边”或“SAS”).
(教师强调:
“边角边”中的角必须是对应相等的两边的夹角.必须是“对应相等”.)
在△ABC和△A'
∴△ABC≌△A'
(SAS)
【设计意图】老师综合学生的疑惑,把有意义的问题归纳,并展示出来.
●活动②发散思维,重新认识
做一做画△ABC,使AB=2cm,BC=2.5cm,∠ACB=40°
学生动手画图,然后剪下来,再与其他同学进行比较.
(学生画出的可能有锐角三角形、钝角三角形.)
归纳得出:
两边及其一边所对的角对应相等时,两个三角形不一定全等.(没有“边边角”)
强调:
1)格式要求:
先指出在哪两个三角形中说明全等;
再按判定顺序列出三个条件,并用括号把它们括在一起;
写出结论.
2)在应用时,怎样寻找已知条件:
已知条件包含两部分,一是已知中给出的,二是图形中隐含的(如公共边,公共角、对顶角、邻补角、外角、平角等)所以找条件归结成两句话:
已知中找,图形中看.
3)平面几何中常要说明角相等和线段相等,其说明常用方法:
证明角相等的方法――对顶角相等;
同角(或等角)的余角(或补角)相等;
两直线平行,同位角相等,内错角相等;
角平分线定义;
等式性质;
全等三角形的对应角相等.
证明线段相等的方法――中点定义;
全等三角形的对应边相等;
等式性质.
【设计意图】全等三角形的全等的用途很广泛,而说明全等的的格式很有必要要求学生书写规范,而这里复习说明角相等和线段相等的知识点,有利于学生知识系统的完善.
探究三:
能运用“边角边”证明简单的三角形全等问题.★▲
●活动①直接利用“SAS”证明三角形全等
例1.已知AB=AD,AC=AE,∠BAC=∠DAE,说明△BAC和△DAE全等的理由.
【解题过程】在△BAC和△DAE中
∴△BAC≌△DAE(SAS)
【思路点拨】直接应用全等的判定方法“SAS”即可.
【答案】见解析
练习:
已知:
如图,AB=CB,∠ABD=∠CBD,△ABD和△CBD全等吗?
全等,因为AB=CB,∠ABD=∠CBD,BD=BD,所以△ABD≌△CBD.
【答案】全等
【设计意图】通过简单练习,掌握三角形全等的判定方法“SAS”.
●活动2利用“SAS”及全等三角形的性质证明线段相等
例2.如图,在△ABC和△ABD中,AC与BD相交于点E,AD=BC,∠DAB=∠CBA.
求证:
AC=BD.
【解题过程】证明:
在△ABC和△ABD中,
∴△ABC≌△BAD(SAS).
∴AC=BD.
【思路点拨】先利用全等的判定方法“SAS”证两个三角形全等,再利用全等三角形的对应边相等可得.
【答案】
如图所示,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.求证:
DC∥AB.
【知识点】三角形全等的判定方法“SAS”、全等三角形的性质、平行线的性质
在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD.
∴∠A=∠C,
∴AB//CD.
【思路点拨】先利用全等的判定方法“SAS”证两个三角形全等,再利用全等三角形的对应角相等证两个角相等,再由平行线的判定得平行.
【设计意图】让学生明白利用全等解决问题的思路:
(1)从已知出发,探究要证明的相等的线段或角分别在哪两个全等三角形中;
(2)分解图形——将所证全等三角形从“复合”图形中分离出来;
(3)“移植”条件——将已知转移至图形,再根据已知条件及隐含条件寻求恰当的判定方法.
●活动3添加辅助线利用“SAS”解决综合性问题
例3问题背景:
如图①所示,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°
,∠B=∠ADC=90°
.E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°
.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是______________;
探索延伸:
如图②,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°
,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;
实际应用:
如图③,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°
的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°
的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°
的方向以80海里/时的速度前进.1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角为70°
,试求此时两舰艇之间的距离.
问题背景:
EF=BE+FD
EF=BE+FD仍然成立.
理由:
延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,
∵∠B+∠ADC=180°
,∠ADG+∠ADC=180°
,
∴∠B=∠ADG.
在△ABE和△ADG中,
∴△ABE≌△ADG.
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.
又∵∠EAF=∠BAD,
∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=∠BAD-∠BAD=∠BAD,
∴∠EAF=∠GAF.
在△AEF和△AGF中
∴△AEF≌△AGF(SAS)
∴EF=FG.
又∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+FD.
如图,连接EF,延长AE,BF相交于点C,在四边形AOBC中,
∵∠AOB=30°
+90°
+20°
=140°
,∠EOF=70°
=∠AOB,
又∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=60°
+120°
=180°
,符合探索延伸中的条件,
∴结论EF=AE+FB成立.
即EF=AE+FB=1.5×
(60+80)=210(海里).
答:
此时两舰艇之间的距离为210海里.
【思路点拨】
(1)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题;
(2)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题.
(3)连接EF,延长AE、BF相交于点C,然后与
(2)同理可证.
【答案】问题背景:
EF=BE+FD.
请阅读,完成证明和填空.
八年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果,内容如下:
(1)如图1,正三角形(等边三角形)ABC中,在AB、AC边上分别取点M、N,使BM=AN,连接BN、CM,发现BN=CM,且∠NOC=60°
.请证明:
∠NOC=60°
.
(2)如图2,正方形
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