平面向量四心问题最全Word文件下载.docx
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本题考查平面向量有关运算,及“数量积为零,则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零,则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合.
三、内心问题
三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点,所以“内心”就在内角平分线线上
AB
2所示,因为
是向量AS的单位向量设
OP-OA^AP
,则原式可化为
二与工方向上的单位向量
&
;
由菱形的基本性质
如图
分别为
例3已知P是厶ABC所在平面内的一动点,且点P满足
D、内心
知AP平分——:
-,那么在—-1'
-"
中,AP平分——:
-,则知选B.
量除以它的模不就是单位向量?
此题所用的都必须是简单的基本知识,如向量的加减法、
向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉,又能迅速地将它们迁移到一起,这道题就迎刃而解了
四、
外心问题
三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点,所以“外心”就在垂直平分线
线上•
内心
本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合
三角形的“四心”与平面向量
向量本身是一个几何概念,具有代数形式和几何形式两种表示方法,易于数形结合,
且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点,因此可称为高中数学的一个交汇点。
角形的“四心”(外心、内心、重心、垂心)是与三角形有关的一些特殊点,各自有一些特殊的性质。
在高考中,往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查。
这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义。
与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有:
ABac
①设丸丘(0,十处,则向量丸q|十|J必平分/BAC该向量必通过△ABC的内心;
IABIACI
②设;
.三(0,:
:
,则向量■(—-
AC
--,=-)必平分/BAC的邻补角
)必垂直于边BC,该向量必通过△ABC
ACcosC
⑨△ABC的外心O、重心G、垂心H共线,即OG//OH
的垂心
例1:
(2003年全国高考题)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三点,动
———abac
点P满足OP=OA…('
),:
二[0,,则动点P的轨迹一定通过厶ABC的()
|ABAC
AB
事实上如图设AE-fB,
A—AC
都是单位向量
|ab|
易知四边形AETF是菱形
故选答案
B
(A)外心(B)内心
(C)重心(D)垂心
例2:
(2005年北京市东城区高三模拟题)OABC所在平面内一点,如果
OAOB=OBOC=OCOA,则O必为△ABC的()
(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心
事实上OAOB=OBOC二(OA-OC)OB=0=CAOB=0=OB丄CA故选答案D
例4:
设0是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三点,
片
例5、已知向量OR,OF2,OR满足条件OPO2P{0P
|OR冃OP2冃OPJ"
,求证:
△PP2P3是正三角形.
分析对于本题中的条件|OP|=|OF2冃OP1=1,容易想到,点O是厶PP2P3的
外心,而另一个条件OR+OF2+OF3=O表明,点O是厶RP2P3的重心.
故本题可描述为,若存在一个点既是三角形的重心也是外心,则该三角形一定是正三角形.在1951年高考中有一道考题,原题是:
若一三角形的重心与外接圆圆心重合,则此三角形为何种三角形?
与本题实质是相同的.
显然,本题中的条件|OP|=|OF2|=|OF3|=1可改为|OP|=|OF2|=|OF3|.
高考原题
op="
Oa
例6、O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满
AC)—[0,:
则.P的轨迹一定通过厶ABC的().
|AB||AC|
■ABC的平分线,选B.
例7、ABC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,
OH=m(0AOB0C),则实数m=.
分析:
本题除了利用特殊三角形求解外,纯粹利用向量知识推导则比较复杂,
更加重要的一点是缺乏几何直观.解法如下,由已知,有向量等式"
AHjBC=o,
II,
将其中的向量分解,向已知等式形式靠拢,有(OH-Oal(OC-OB)=o,将已知
=0,
有[m(0AOb0C)-OA〕l(OC-0B)
)OABC=0,由O是外心,得(m-1)OABC=0,由于ABC
是任意三角形,则OaBc不恒为0,故只有m"
恒成立.
或者,过点O作OM_BC与M,则M是BC的中点,有OM=」(OBOC);
2
H是垂心,贝UAH_BC,故aH与OM共线,设"
AH=kOM,则
OH-OAAH-O^-(OBOC),又OH二m(OAOBOC),故可得
kkk
(m-OAm■(-OB)m(OC=),有m01=m0,得m=1.
222
根据已知式子OH=m(OAObOC)中的OaOBOC部分,很容易想到三
角形的重心坐标公式,设三角形的重心为G,O是平面内
T1T
OAoBOC
任一点,均有OG=,由题意,题目显然叙
3
述的是一个一般的结论,先作图使问题直观化,如图1,由图上观察,很容易猜想到HG=2GO,至少有两个产生猜想的诱因,其一是,BF,OT均与三角形的边AC垂直,则BF//OT;
其二,点G是三角形的中线BT的三等分
点.此时,会先猜想厶BHGTOG,但现在缺少一个关键的条件,即
BH=2OT,这样由两个三角形的两边长对应成比例,同时,夹角对应相等可得相似•当然,在考试时,只需大胆使用,也可利用平面几何知识进行证明.
本题结论是关于三角形的欧拉定理,即设OGH分别是△ABC勺外心、重心和垂心,则OGH三点共线,且OG:
G*1:
2,利用向量表示就是=3oG.
例8、点0是三角形ABC所在平面内的一点,满足OA^B二二OC_OA,则点0是.ABC的().
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的
D.三条高的交点
交占
八、、
C.三条中线的交点
分析移项后不难得出
OBCA=OclAB=OA_CB=0,点o是abc的垂心,
3推广应用题
例9在厶ABC内求一点P,使APBP2CP2最
小.
分析如图2,构造向量解决.取
乩a,cB
二b为基向量,
设CP二"
X,
于是
22222122212
APBPCP=(x—a)(x-b)x=3[x(ab)]ab(ab).
33
开代入,已知等式与例4的条件一样•也可移项后,分解因式合并化简,O为垂
心.
例11已知0为△ABC的夕卜心,求证:
TTT’
OAsinBOCOBsinAOCOCsinAOB=0.
分析构造坐标系证明.如图3,以A为坐标
原
占
八、、)
在
X轴的
正半轴,C在X轴的上
y3)
方
SaAOB—
1
-X2Y0
,直线BC的方程是
賀0)
y3
对(
X_
-y2
X,由于点A与点0必在直
\>
■
线
的
侧,
A
B(X2,y2)X
BC
同
且-X2y3vO,因此有
图3
X0
y3-
X3
y。
X2—y
00X2得
'
BO「2(X3y0"
―如.
直线AC的方程是y3x-x3y=0,由于点(1,0)与点O必在直线AC的同侧,且
y31-X300,因此有Xoy3-X3yo0,得Saaoc(X°
y3-X3yo).
于是,谷易验证,OASaboc0BSaAOC0CSaaob二0,
1r「
Sabop|OB|OCsi,ibOC
」|OA||OC|sinAOC,又|(A||窗||(C卜,2
T—I
SABOA■I0B110A1sinA0B,SAAOC
则所证成立.
总结:
知识综述
(一)三角形各心的概念介绍
1、重心——三角形的三条中线的交点;
2、垂心——三角形的三条垂线的交点;
3、内心一一三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆的圆心);
4、外心一一三角形的三条垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)
根据概念,可知各心的特征条件.比如:
重心将中线长度分成2:
1;
垂线与对应边的向量
积为0;
角平分线上的任意点到角两边的距离相等;
外心到三角形各顶点的距离相等.
(二)三角形各心的向量表示
・卡f
1、O是ABC的重心=OAOBOC=0;
2、O是ABC的垂心=OAOB=OBOC=OCOA;
3、O是ABC的外心=|OA|=|OB|=|OC|(或OA
22
=OB=OC);
4、O
ABC
二OA
(竺一竺)(BA
畀)=OC,(_CA__CB)=0;
|BA||BC||CA||CB|
注意:
向量
线)
(ABAC)°
呵所在直线过
ABC的内心(是.BAC的角平分线所在直
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- 平面 向量 问题