全国通用版新版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第4节 直线平面平行的判定及其性质学案Word文档下载推荐.docx
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2.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面.
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行
a⊂α,b⊂α,a∩b=P,a∥β,b∥β⇒α∥β
两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面
α∥β,a⊂α⇒a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行
α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b
[常用结论与微点提醒]
1.平行关系中的两个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
2.线线、线面、面面平行间的转化
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×
”)
(1)若一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.( )
(2)若直线a∥平面α,P∈α,则过点P且平行于直线a的直线有无数条.( )
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( )
(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( )
解析
(1)若一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行或在平面内,故
(1)错误.
(2)若a∥α,P∈α,则过点P且平行于a的直线只有一条,故
(2)错误.
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行或相交,故(3)错误.
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√
2.(必修2P61A组T1
(1)改编)下列命题中正确的是( )
A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面
B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α
解析 根据线面平行的判定与性质定理知,选D.
答案 D
3.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 当m∥β时,可能α∥β,也可能α与β相交.
当α∥β时,由m⊂α可知,m∥β.
∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.
答案 B
4.(2018·
长沙模拟)已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.m∥α,n∥α,则m∥nB.m∥n,m∥α,则n∥α
C.m⊥α,m⊥β,则α∥βD.α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
解析 A中,m与n平行、相交或异面,A不正确;
B中,n∥α或n⊂α,B不正确;
根据线面垂直的性质,C正确;
D中,α∥β或α与β相交于一条直线,D错.
答案 C
5.(必修2P56练习2改编)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面AEC的位置关系为________.
解析 连接BD,设BD∩AC=O,连接EO,在△BDD1中,O为BD的中点,E为DD1的中点,所以EO为△BDD1的中位线,则BD1∥EO,而BD1⊄平面ACE,EO⊂平面ACE,所以BD1∥平面ACE.
答案 平行
考点一 与线、面平行相关命题的判定
【例1】
(1)(2018·
成都诊断)已知m,n是空间中两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且m⊂α,n⊂β.有下列命题:
①若α∥β,则m∥n;
②若α∥β,则m∥β;
③若α∩β=l,且m⊥l,n⊥l,则α⊥β;
④若α∩β=l,且m⊥l,m⊥n,则α⊥β.
其中真命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
(2)(2018·
安庆模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在BD1上且BP=BD1,则下面说法正确的是________(填序号).
①MN∥平面APC;
②C1Q∥平面APC;
③A,P,M三点共线;
④平面MNQ∥平面APC.
解析
(1)①若α∥β,则m∥n或m,n异面,不正确;
②若α∥β,根据平面与平面平行的性质,可得m∥β,正确;
③若α∩β=l,且m⊥l,n⊥l,则α与β不一定垂直,不正确;
④若α∩β=l,且m⊥l,m⊥n,l与n不一定相交,不能推出α⊥β,不正确.
(2)如图,对于①,连接MN,AC,则MN∥AC,连接AM,CN,
易得AM,CN交于点P,即MN⊂面APC,所以MN∥面APC是错误的.
对于②,由①知M,N在平面APC内,由题易知AN∥C1Q,且AN⊂平面APC,C1Q⊄平面APC.
所以C1Q∥面APC是正确的.
对于③,由①知,A,P,M三点共线是正确的.
对于④,由①知MN⊂面APC,又MN⊂面MNQ,所以面MNQ∥面APC是错误的.
答案
(1)B
(2)②③
规律方法 1.判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理,无论是单项选择还是含选择项的填空题,都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除,再逐步判断其余选项.
2.
(1)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.
(2)特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情况,通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确.
【训练1】
(1)设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,且m,n⊂α,则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
(2)(2016·
全国Ⅱ卷)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.
③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.
④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有________(填写所有正确命题的编号).
解析
(1)若m,n⊂α,α∥β,则m∥β且n∥β;
反之若m,n⊂α,m∥β且n∥β,则α与β相交或平行,即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件.
(2)当m⊥n,m⊥α,n∥β时,两个平面的位置关系不确定,故①错误,经判断知②③④均正确,故正确答案为②③④.
答案
(1)A
(2)②③④
考点二 直线与平面平行的判定与性质(多维探究)
命题角度1 直线与平面平行的判定
【例2-1】(2016·
全国Ⅲ卷)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明:
MN∥平面PAB;
(2)求四面体N-BCM的体积.
(1)证明 由已知得AM=AD=2.
如图,取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.
又AD∥BC,故TN綉AM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,
所以MN∥平面PAB.
(2)解 因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,
所以N到平面ABCD的距离为PA.
如图,取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.
由AM∥BC得M到BC的距离为,故S△BCM=×
4×
=2.所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=×
S△BCM×
=.
命题角度2 直线与平面平行性质定理的应用
【例2-2】(2018·
青岛质检)如图,五面体ABCDE,四边形ABDE是矩形,△ABC是正三角形,AB=1,AE=2,F是线段BC上一点,直线BC与平面ABD所成角为30°
,CE∥平面ADF.
(1)试确定F的位置;
(2)求三棱锥A-CDF的体积.
解
(1)连接BE交AD于点O,连接OF,
∵CE∥平面ADF,CE⊂平面BEC,平面ADF∩平面BEC=OF,
∴CE∥OF.
∵O是BE的中点,∴F是BC的中点.
(2)∵BC与平面ABD所成角为30°
,BC=AB=1,
∴C到平面ABD的距离为h=BC·
sin30°
∵AE=2,
∴VA-CDF=VF-ACD=VB-ACD=VC-ABD
=×
×
1×
2×
规律方法 1.利用判定定理判定线面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.
2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;
而在应用性质定理时,其顺序恰好相反.
【训练2】(2017·
江苏卷)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.
求证:
(1)EF∥平面ABC;
(2)AD⊥AC.
证明
(1)在平面ABD内,AB⊥AD,EF⊥AD,则AB∥EF.
∵AB⊂平面ABC,EF⊄平面ABC,∴EF∥平面ABC.
(2)∵BC⊥BD,平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABD⊥平面BCD,BC⊂平面BCD,
∴BC⊥平面ABD.
∵AD⊂平面ABD,∴BC⊥AD.
又AB⊥AD,BC,AB⊂平面ABC,BC∩AB=B,
∴AD⊥平面ABC,
又因为AC⊂平面ABC,∴AD⊥AC.
考点三 面面平行的判定与性质(典例迁移)
【例3】(经典母题)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证:
(1)B,C,H,G四点共面;
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明
(1)∵G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
∴GH是△A1B1C1的中位线,则GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共面.
(2)∵E,F分别为AB,AC的中点,∴EF∥BC,
∵EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,
∴EF∥平面BCHG.
又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1綉AB,
∴A1G綉EB,
∴四边形A1EBG是平行四边形,∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF=E,
∴平面EFA1∥平面BCHG.
【迁移探究1】在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”变为“D1,D分别为B1C1,BC的中点”,求证:
平面A1BD1∥平面AC1D.
证明 如图所示,连接A1C交AC1于点M,
∵四边形A1ACC1是平行四边形,
∴M是A1C的中点,连接MD,
∵D为BC的中点
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