《11分类加法计数原理和分步乘法计数原理》教学案4Word文档格式.docx

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新授课

课时安排：

2课时

教具：

多媒体、实物投影仪

教学过程：

引入课题

先看下面的问题：

①从我们班上推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？

②把我们的同学排成一排，共有多少种不同的排法？

要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识.排列组合是一种重要的数学计数方法.总的来说，就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.

在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理.这节课，我们从具体例子出发来学习这两个原理.

1分类加法计数原理

（1）提出问题

问题1.1：

用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？

问题1.2：

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

探究：

你能说说以上两个问题的特征吗？

（2）发现新知

分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法.那么完成这件事共有

种不同的方法.

（3）知识应用

例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

A大学B大学

生物学数学

化学会计学

医学信息技术学

物理学法学

工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？

分析：

由于这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：

这名同学可以选择A,B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有

5+4=9（种）.

变式：

若还有C大学，其中强项专业为：

新闻学、金融学、人力资源学.那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？

如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，在第3类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

如果完成一件事情有类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？

一般归纳：

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法……在第n类办法中有种不同的方法.那么完成这件事共有

理解分类加法计数原理：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.

2分步乘法计数原理

问题2.1：

用前6个大写英文字母和1—9九个阿拉伯数字，以,,…，,,…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？

用列举法可以列出所有可能的号码：

我们还可以这样来思考：

由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×

9=54个不同的号码．

你能说说这个问题的特征吗？

分步乘法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法.那么完成这件事共有

例2.设某班有男生30名，女生24名.现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？

选出一组参赛代表，可以分两个步骤．第l步选男生．第2步选女生．

解：

第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；

第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择．

根据分步乘法计数原理，共有

30×

24=720

种不同的选法．

如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第3步有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

如果完成一件事情需要个步骤，做每一步中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？

完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法.那么完成这件事共有

理解分步乘法计数原理：

分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.

3．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点

①相同点：

都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；

而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.

3综合应用

例3.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.

①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？

【分析】

①要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理.

②要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有第1、2、3层都取后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理.

③要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这

件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理.

（1）从书架上任取1本书，有3类方法：

第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；

第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；

第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是

=4+3+2=9;

（2）从书架的第1,2,3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：

第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；

第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法；

第3步从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是

=4×

3×

2=24.

（3）。

例4.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？

从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：

第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；

第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是

N=3×

2=6.

6种挂法可以表示如下：

分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．

练习

1．填空：

（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出l人来完成这件工作，不同选法的种数是＿;

（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B的路线有＿条．

2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．

（1）从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

村去C村，不同

（2）从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

3．在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这名同学可能的专业选择共有

6+4=10（种）.

这种算法有什么问题？

例5.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z,后两个要求用数字1～9．问最多可以给多少个程序命名？

要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：

第1步，选首字符；

第2步，选中间字符；

第3步，选最后一个字符．而首字符又可以分为两类．

先计算首字符的选法．由分类加法计数原理，首字符共有

7+6=13

种选法．

再计算可能的不同程序名称．由分步乘法计数原理，最多可以有

13×

9×

9==1053

个不同的名称，即最多可以给1053个程序命名．

例6.核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分一个RNA分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据．

总共有4种不同的碱基，分别用A,C,G,U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关．假设有一类RNA分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？

用图1.1一2来表示由100个碱基组成的长链，这时我们共有100个位置，每个位置都可以从A,C,G,U中任选一个来占据．

100个碱基组成的长链共有100个位置，如图1.1一2所示．从左到右依次在每一个位置中，从A,C,G,U中任选一个填人，每个位置有4种填充方法．根据分步乘法计数原理，长度为100的所有可能的不同RNA分子数目有

（个）

例7.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态．因此计算机内部就采用了每一位只有O或1两种数字的记数法，即二进制．为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成．问：

（1）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？

（2）计算机汉字国标码（GB码）包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？

由于每个字节有8个二进制位，每一位上的值都有0,1两种选择，而且不同的顺序代表不同的字符，因此可以用分步乘法计数原理求解本题．

（1）用图1.1一3来表示一个字节．

图1.1