第1章充分条件和必要条件Word下载.docx
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知识点二 充要条件的概念
思考1 命题“若整数a是6的倍数,则整数a是2和3的倍数”中的条件和结论有什么关系?
它的逆命题成立吗?
答案 只要满足条件,必有结论成立,它的逆命题成立.
思考2 若设p:
整数a是6的倍数,q:
整数a是2和3的倍数,则p是q的什么条件?
q是p的什么条件?
答案 因为p⇒q且q⇒p,所以p是q的充分条件也是必要条件;
同理,q是p的充分条件,也是必要条件.
梳理 一般地,如果p⇒q,且q⇒p,就记作p⇔q.此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.
知识点三 常见的四种条件
1.从命题的真假判断充分条件、必要条件和充要条件
如果原命题为“若p则q”,逆命题为“若q则p”
原命题
逆命题
条件p与结论q的关系
结论
真
假
p⇒q,但q⇏p
p是q成立的充分不必要条件
q⇒p,但p⇏q
p是q成立的必要不充分条件
p⇒q,q⇒p,即p⇔q
p是q成立的充要条件
p⇏q,q⇏p
p是q成立的既不充分又不必要条件
2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
前提:
设集合A={x|x满足p},B={x|x满足q}.
若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件
若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件
若A=B,则p,q互为充要条件
若AB且BA,则p既不是q的充分条件,又不是q的必要条件
1.若q是p的必要条件,则p是q的充分条件.( √ )
2.若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题.( √ )
3.若q不是p的必要条件,则“p⇏q”成立.( √ )
类型一 充要条件的判断
例1 判断下列各题中,p是q的什么条件?
(1)p:
α=,q:
cosα=;
(2)p:
(a-2)(a-3)=0,q:
a=3;
(3)在△ABC中,p:
a>
b,q:
sinA>
sinB;
(4)p:
四边形的对角线相等,q:
四边形是平行四边形.
考点 条件的概念及判断
题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断
解
(1)∵α=,∴cosα=,
但cosα=推不出α=,
∴p是q的充分不必要条件.
(2)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3,不一定有a=3;
由a=3可以推出(a-2)(a-3)=0,因此p是q的必要不充分条件.
(3)在△ABC中,∵由正弦定理=,
知a>
b可以推出sinA>
sinB,sinA>
sinB可以推出a>
b,
∴p是q的充要条件.
(4)∵
∴p是q的既不充分又不必要条件.
反思与感悟 充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法:
①确定谁是条件,谁是结论.
②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件.
③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件.
(2)命题判断法:
①如果命题:
“若p则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件.
②如果命题:
“若p则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
跟踪训练1 设x∈R,则“3-x≥0”是“|x-1|≤2”的________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)
答案 必要不充分
解析 ∵3-x≥0⇔x≤3,|x-1|≤2⇔-1≤x≤3,
故“3-x≥0”是“|x-1|≤2”的必要不充分条件.
类型二 充分条件、必要条件的应用
例2 已知p:
-2≤x≤10,q:
1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
解 p:
1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要不充分条件,
所以q是p的充分不必要条件,
即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10},
故有或解得m≤3.
又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}.
引申探究
1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.
因为p是q的充分不必要条件,
设p代表的集合为A,q代表的集合为B,
所以AB.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9,
所以m≥9,
即实数m的取值范围是[9,+∞).
2.本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件.
解 因为p:
若p是q的充要条件,则m不存在.
故不存在实数m,使得p是q的充要条件.
反思与感悟
(1)设集合A={x|x满足p},B={x|x满足q},则p⇒q可得A⊆B;
q⇒p可得B⊆A;
若p是q的充分不必要条件,则AB.
(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系,要注意范围的临界值.
跟踪训练2 已知M={x|(x-a)2<
1},N={x|x2-5x-24<
0},若M是N的充分条件,求a的取值范围.
解 由(x-a)2<
1,得x2-2ax+(a-1)(a+1)<
0,
∴a-1<
x<
a+1.
又由x2-5x-24<
0,得-3<
8.
∵M是N的充分条件,∴M⊆N,
∴ 解得-2≤a≤7.
即a的取值范围是[-2,7].
类型三 充要条件的证明
例3 求证:
一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<
0.
考点 充要条件的概念及判断
题点 充要条件的证明
证明 充分性:
∵ac<
0,∴一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>
∴方程一定有两个不等实根.
设两实根为x1,x2,则x1x2=<
∴方程的两根异号,
即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根.
必要性:
∵方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,
设两实根为x1,x2,则由根与系数的关系,得
x1x2=<
0,且Δ=b2-4ac>
即ac<
综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<
求证:
关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
证明 必要性:
∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1,
∴x=1满足方程ax2+bx+c=0,
∴a·
12+b·
1+c=0,即a+b+c=0,∴必要性成立.
充分性:
∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)·
(ax+a+b)=0,
故方程ax2+bx+c=0有一个根为1,∴充分性成立.
因此,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.
反思与感悟
(1)证明充要条件,一般是从充分性和必要性两方面进行,此时应特别注意充分性和必要性所推证的内容是什么.
(2)要分清命题中的条件和结论,防止充分性和必要性弄颠倒,由条件⇒结论是证充分性,由结论⇒条件是证必要性.
跟踪训练3 已知数列{an}的前n项和为Sn=pn+q(p≠0且p≠1).求证:
数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.
当q=-1时,a1=p-1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),
当n=1时也成立.
所以an=pn-1(p-1),n∈N*.
又p≠0,且p≠1,∴==p,
∴数列{an}为等比数列.
当n=1时,a1=S1=p+q;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).
∵p≠0且p≠1,{an}为等比数列,
∴==p,
∴=p,即p-1=p+q,∴q=-1.
综上所述,q=-1是数列{an}为等比数列的充要条件.
1.设M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N⊆M”的________________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)
答案 充分不必要
解析 当a=1时,N={1},此时N⊆M;
当N⊆M时,a2=1或a2=2,解得a=1或-1或或-.故“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件.
2.“函数y=x2-2x-a没有零点”的充要条件是_____________________________________.
答案 a<
-1
解析 函数没有零点,即方程x2-2x-a=0无实根,所以有Δ=4+4a<
0,解得a<
-1.反之,若a<
-1,则Δ<
0,方程x2-2x-a=0无实根,即函数没有零点.
3.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的________条件.
答案 必要
解析 “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.
4.若“x2>
1”是“x<
a”的必要不充分条件,则实数a的最大值为________.
答案 -1
解析 由x2>
1,得x<
-1或x>
1.
又“x2>
a”的必要不充分条件,
则由“x<
a”可以推出“x2>
1”,
但由“x2>
1”推不出“x<
a”,
所以a≤-1,所以实数a的最大值为-1.
5.是否存在实数p,使得x2-x-2>
0的一个充分条件是4x+p<
0,若存在,求出p的取值范围,否则,说明理由.
解 由x2-x-2>
0,解得x>
2或x<
-1.
令A={x|x>
-1}.
由4x+p<
0,得B=.
由题意得B⊆A,即-≤-1,即p≥4,
此时由x<
-≤-1可以推出x2-x-2>
∴当p≥4时,“4x+p<
0”是“x2-x-2>
0”的一个充分条件.
1.充分条件、必要条件的判断方法:
直接利用定义进行判断.
(2)等价法:
“p⇔q”表示p等价于q,要证p⇒q,只需证它的逆否命题非q⇒非p即可;
同理要证p⇐q,只需证非q⇐非p即可.所以p⇔q,只需非q⇔非p.
(3)利用集合间的包含关系进行判断.
2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.
一、填空
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