求导法则及求导公式.doc
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求导法则及求导公式.doc
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九江学院理学院《数学分析》教案
§2求导法则
上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家:
深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数(不管它是简单函数,还是复杂函数),总可用定义求其导数(只要极限存在).但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算(用定义求导)都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象.
因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数:
一、导数的四则运算
问题1设,求.
分析利用导数的定义及极限的四则运算知,.即
一般地,有如下和的导法则:
定理1(和的导数)设,在点可导,则
(求导是线性运算)
证明令
问题2设,则对吗?
分析一般地,有如下乘积的求导法则:
定理2(积的导数)设,在点可导,则
(它导它不导,它不导它导,然后加起来)
证明令
推论1.
推论2若函数在知可导,C为常数,则.
问题3设,求.
一般地,存如下商的运算法则:
定理3(商的导数)设,在点可导,则
.
证明令
给出(3).
推论
(1).
(2).
(3).
.利用导数的四则运算法则举例.
例1,求,.
例2,求.例3证明:
.
例4证明:
.
例5证明:
.
.利用导数的四则运算法则求导数举例:
1.;2.;
3.;4.;
5.;6.;
7.;8.;
9..
二、反函数的导数
问题1设,求.
定理4设在区间上连续,严格上升,在点可导,且,.则反函数在点可导,且
.
注若在可导,导数,则反函数存在,且
.
这里导数可推出严格上升(下降),反函数之导数公式也可写成
.
定理的证明要证存在,注意到这个比式是函数
与
的复合,由定理条件知
.
再由反函数连续性,时,,由复合函数求极限定理得
.
例6,求.
解,,反过来,如果已知,也可求.
例7,求.
解,.
例8,求.
解,
例9,求.
例10,求.
三、复合函数的导数
问题1设,求;2).设,求;3).设,求.
定理5设与存在,,则复合函数在点可导,且.
注若的定义域包含的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数在的定义域上可导,且(怀中抱月)或,.
定理的证明定义函数
在点连续,.
由恒等式,,我们有
令,得.
我们引进是为了避免再直接写表达式
中当时,可能会出现情况.
例1,求.
解
例2,求.
解.
例3,求.
解.
例4,求.
解
.
例5,求.
解时,;时,,时,.
例6,求.
解.
四、隐函数微分法
若可微函数满足方程,则其导数可以从求出.一个方程何时能唯一决定一个可微函数,留待日后解决,现在我们通常假定能唯一决定一个可微函数,考虑如何求出导函数问题.
例7,求过点的切线方程.
解对方程求导,心中记住是的函数,得
,
,
在点上,,过切线方程为
即.
五、对数微分法我们结合例子研究对数微分法
例8,求.
解函数定义域和,取对数,两边对求导,采用隐函数微分法,得,所以.
例9,,,求.
解取对数,得,两边求导,得,
.
如,.
六、双曲函数及其反函数之导数
性质
由
反双曲函数
不是单值函数,可选一个分支来研究
小结
一、基本求导法则
1.;2.,;
3.,;4.反函数导数.
二、基本初等函数导数公式
1.;
2.;
3.,;
4.,,,;
5.,;
6.,;
7.,;,.
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