届人教A版理科数学平面向量单元测试文档格式.docx
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解析 选项A中,设e1+e2=λe1,则无解;
选项B中,设e1-2e2=λ(e1+2e2),则无解;
选项C中,设e1+e2=λ(e1-e2),则无解;
选项D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量.
4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为( )
A.(1,-1)B.(-1,1)
C.(-4,6)D.(4,-6)
解析 由题知4a=(4,-12),3b-2a=(-6,12)-(2,-6)=(-8,18),由4a+(3b-2a)+c=0,知c=(4,-6),选D.
5.(2018·
河北唐山一模)在△ABC中,∠B=90°
,=(1,-2),=(3,λ),则λ=( )
A.-1B.1
C.D.4
答案 A
解析 在△ABC中,∵=(1,-2),=(3,λ),∴=-=(2,λ+2).又∵∠B=90°
,∴⊥,∴·
=0,即2-2(λ+2)=0,解得λ=-1.故选A.
6.(2018·
湖北襄阳模拟)设向量a=(m,2),b=(1,m+1),且a与b的方向相反,则实数m的值为( )
A.-2B.1
C.-2或1D.m的值不存在
解析 向量a=(m,2),b=(1,m+1),因为a∥b,所以m(m+1)=2×
1,解得m=-2或1.当m=1时,a=(1,2),b=(1,2),a与b的方向相同,舍去;
当m=-2时,a=(-2,2),b=(1,-1),a与b的方向相反,符合题意.故选A.
7.在▱ABCD中,若=(3,7),=(-2,3),对角线交点为O,则等于( )
A.(-,5)B.(-,-5)
C.(,-5)D.(,5)
解析 =-=-(+)=-(1,10)=(-,-5).
8.(2018·
湖北襄樊一模)已知=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是( )
A.k=-2B.k=
C.k=1D.k=-1
解析 若点A,B,C不能构成三角形,则向量与共线.因为=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=-=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1).所以1×
(k+1)-2k=0,解得k=1,故选C.
9.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,设向量=a,=b,其中a=(3,1),b=(1,3).若=λa+μb,且0≤λ≤μ≤1,则C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是( )
解析 由题意知=(3λ+μ,λ+3μ),取特殊值,λ=0,μ=0,知所求区域包含原点,取λ=0,μ=1,知所求区域包含(1,3),从而选A.
10.(2017·
安徽合肥一模)已知a=(1,3),b=(-2,k),且(a+2b)∥(3a-b),则实数k=________.
答案 -6
解析 ∵a=(1,3),b=(-2,k),∴a+2b=(-3,3+2k),3a-b=(5,9-k).∵(a+2b)∥(3a-b),∴-3(9-k)-5(3+2k)=0,解得k=-6.
11.已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为________.
答案 (2,4)
解析 ∵在梯形ABCD中,DC=2AB,∴=2.
设点D的坐标为(x,y),则=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),=(2,1)-(1,2)=(1,-1),
∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),
∴解得
故点D的坐标为(2,4).
12.已知A(-3,0),B(0,),O为坐标原点,C在第二象限,且∠AOC=30°
,=λ+,则实数λ的值为________.
答案 1
解析 由题意知=(-3,0),=(0,),则=(-3λ,).
由∠AOC=30°
知以x轴的非负半轴为始边,OC为终边的一个角为150°
,
∴tan150°
=,即-=-,∴λ=1.
13.(2018·
河北联盟二模)已知点A(1,0),B(1,),点C在第二象限,且∠AOC=150°
,=-4+λ,则λ=________.
解析 ∵点A(1,0),B(1,),点C在第二象限,=-4+λ,∴C(λ-4,λ).∵∠AOC=150°
,∴∠COx=150°
,∴tan150°
==-,解得λ=1.
14.已知||=1,||=,·
=0,点C在∠AOB内,且∠AOC=30°
.设=m+n(m,n∈R),则=________.
答案 3
解析 方法一:
如图所示,
∵·
=0,∴⊥.
不妨设||=2,过C作⊥于D,⊥于E,则四边形ODCE是矩形.
=+=+.
∵||=2,∠COD=30°
,∴||=1,||=.
又∵||=,||=1,
故=,=.
∴=+,此时m=,n=.
∴==3.
方法二:
由·
=0知△AOB为直角三角形,以OA,OB所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则可知=(1,0),=(0,).又由=m+n,可知=(m,n),故由tan30°
==,可知=3.
15.(2018·
湖南长沙一模)在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,P是矩形内部一点(不含边界),且AP=1.若=x+y,则3x+2y的取值范围是________.
答案 (1,]
解析 ∵在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),D(0,2),∴=x+y=x(3,0)+y(0,2)=(3x,2y).
∵||=1,∴(3x)2+(2y)2=1.令3x=cosθ,2y=sinθ,θ∈(0,),则3x+2y=cosθ+sinθ=sin(θ+),∵<
θ+<
π,∴<
sin(θ+)≤1,
1<
3x+2y≤,即3x+2y的取值范围是(1,].
16.已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=,=.
(1)求E,F的坐标;
(2)求证:
∥.
答案
(1)E(-,),F(,0)
(2)略
解析
(1)设E,F两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则依题意,得=(2,2),=(-2,3),=(4,-1).
∴==(,),==(-,1).
∴=(x1,y1)-(-1,0)=(,),
=(x2,y2)-(3,-1)=(-,1).
∴(x1,y1)=(,)+(-1,0)=(-,),
(x2,y2)=(-,1)+(3,-1)=(,0).
∴E的坐标为(-,),F的坐标为(,0).
(2)由
(1)知(x1,y1)=(-,),(x2,y2)=(,0).
∴=(x2,y2)-(x1,y1)=(,-).
又=(4,-1),
∵4×
(-)-(-1)×
=0,
∴∥.
17.已知向量a=(sinθ,cosθ-2sinθ),b=(1,2).
(1)若a∥b,求tanθ的值;
(2)若|a|=|b|,0<
θ<
π,求θ的值.
答案
(1)
(2)或
解析
(1)因为a∥b,所以2sinθ=cosθ-2sinθ,于是4sinθ=cosθ,故tanθ=.
(2)由|a|=|b|知,sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=5,所以
1-2sin2θ+4sin2θ=5.
从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4,即sin2θ+cos2θ=-1,于是sin(2θ+)=-.
又由0<
π知,<
2θ+<
,所以2θ+=或2θ+=.
因此θ=或θ=.
18.(2018·
潍坊二模)已知向量=(6,1),=(x,y),=(-2,-3).
(1)若∥,求x与y之间的关系式;
(2)在
(1)的条件下,若⊥,求x,y的值及四边形ABCD的面积.
答案
(1)x+2y=0
(2)x=-6,y=3,S四边形ABCD=16
解析
(1)∵=++=(x+4,y-2),
∴=-=(-x-4,2-y).
又∥且=(x,y),
∴x(2-y)-y(-x-4)=0,
即x+2y=0.①
(2)由于=+=(x+6,y+1),
=+=(x-2,y-3),
又⊥,
∴·
即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.②
联立①②,化简得y2-2y-3=0.
解得y=3或y=-1.
故当y=3时,x=-6,
此时=(0,4),=(-8,0),
当y=-1时,x=2.
此时=(8,0),=(0,-4).
∴S四边形ABCD=||·
||=16.
1.(2018·
西安一模)已知向量a=(m-1,2),b=(3,m+4),若a∥b,且方向相反,则|b|=( )
A.B.
C.3D.2
思路 本题需要先利用向量共线定理(或利用向量的坐标运算),求出参数m的值(注意向量a,b方向相反),再根据向量模的计算公式进行求解.
依题意可设a=tb(t<
0),
则(m-1,2)=t(3,m+4),所以解得
从而b=(3,-1),所以|b|=.故选B.
因为a∥b,所以(m-1)(m+4)-6=0,
解得m=-5或m=2.
根据向量a,b方向相反可知,m=-5符合题意.
2.在平面直角坐标系中,点O(0,0),P(6,8),将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量,则点Q的坐标是( )
A.(-7,-)B.(-7,)
C.(-4,-2)D.(-4,2)
解析 设与x轴正半轴的夹角为θ,则cosθ=,sinθ=,则由三角函数定义,可得=(||cos(θ+),||sin(θ+)).
∵||cos(θ+)=×
(cosθcos-sinθsin)=10×
[×
(-)-×
]=-7,
||sin(θ+)=×
(sinθcos+cosθsin)=10×
(-)+×
]=-,
∴=(-7,-),
即点Q的坐标为(-7,-).
3.(2018·
吉林普通高中二模)在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,点D在AB边上且满足=t+(1-t).若∠ACD=60°
,则t的值为( )
A.B.-1
C.D.
解析 ∵=t+(1-t),∴A,B,D三点共线.
由题意建立如图所示的直角坐标系,设AC=BC=1,则C(0,0),A(1,0),B(0,1).直线AB的方程为x+y=1,直线CD的方程为y=x,联立解得x=,y=,∴D(,),∴=(,).∵=(1,0),=(0,1),∴t+(1-t)=(t,1-t),∴(,)=(t,1-t),解得t=.故选A.
4.与直线3x+4y+5=0的方向向量共线的一个单位向量是( )
A.(3,4)B.(4,-3)
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