椭圆周长公式的推导证明检验评价与应用文档格式.docx
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若某条光滑曲线,能用参数方程表示:
,
,该曲线长度可表示为:
故椭圆周长为:
其中是椭圆的离心率。
下面用泰勒公式展开
先由……
令K=1/2可得:
令可得:
所以:
这个式子可以化简。
因为:
这就是椭圆周长著名的项名达公式,这是一个准确的椭圆周长公式,虽然准确但实际计算时却只能取精确值(谁能长生不老?
)。
其中为长半轴,为椭圆离心率。
……………………
(1)
根据项名达公式
(1),可写出计算椭圆周长C的计算机程序,并得到椭圆周长真值分布表1:
PrivateSubForm_Click()
a=1:
’长半轴长度。
a、b可根据实际问题改为其它值
b=0.15:
’短半轴长度,应不大于a,否则两者互换
e=sqr(1-b*b/a/a):
’椭圆离心率
k0=0.25*e^2:
’
(1)式括号中的第二项
s=1-k0:
’
(1)式括号中的前二项
forI=2to1000000:
’级数算到百万项,一般计算机只需几秒钟
k=k0*(2*I-1)^2/(2*I)^2*(2*I-3)/(2*I-1)*e*e:
’
(1)式括号中的某一项
s=s–k:
’将各项累加到s中去,最终就得到
(1)式括号中的值
k0=k:
’为计算下一项,将前一项结果赋给k0
nextI:
’循环
print2*3.1415926535*a*s:
’打印或显示计算结果
EndSub
椭圆周长
1
0.00
4.0000000000…
0.01
4.0010983297…
0.10
4.0639741801…
0.25
4.2892108875…
0.50
4.8442241100…
0.75
5.5258730400…
0.90
5.9731604325…
0.99
6.2518088479…
1.00
6.2831853070…
表1.椭圆周长真值的分布
项名达公式虽然易于设计程序,但另一个级数公式收敛得更快,且只含加法运算,如果我们不方便编程,可以事先进行误差估计,从而更有效地按照精确度要求计算椭圆周长。
为了方便,我们称下面这个公式为周钰承椭圆周长标准公式。
为了估计误差,我们设,则周钰承标准公式为:
…………
(2)
这个公式中,主干为,我们可以把
………………………………(3)
称为误差多项式。
假如要求我们误差率低于,我们设需要计算到误差多项式第n项,不妨设,则误差率为误差多项式(3)第n+1项及其以后无穷多项之和必须满足下列不等式:
因为(注意):
所以只须:
…………………………………………(4)
公式(4)称为周钰承标准公式
(2)的误差公式。
取满足不等式(4)的最小整数,为此,我们只需要一个带有函数的学生计算器便可以根据精确度要求,知道我们应该计算到第几项,计算所得的值在给定误差率的情况下是准确的。
注意:
计算到误差多项式第n项,就是周钰承标准公式
(2)括号中算到2n次方项;
若n为负数或者小于2,就算到误差多项式(3)第2项,即公式
(2)中括号里的4次方项。
如n>
-1.86745.则周钰承标准公式中,中括号里应该算到4次方项。
因为误差公式证明中n大于或等于2是前提条件。
二、两个高精度的椭圆周长初等公式
如果利用周钰承标准公式来计算椭圆周长,通常只需要级数前两三项就可以达到相当高的精确度。
但当时,算得:
即用到误差多项式第58项即116次方项,误差才能保证小于万分之一。
为此,我们可以根据周钰承标准公式,构建一个新的函数模型,用以解决甚至更小时的计算问题。
设,……………
则
我们改造函数模型,考虑到函数的表达式具有三个重要特征:
1.各项均含有因式;
2.当时,,椭圆周长趋近于圆周长,此时;
3.当时,,椭圆周长趋近两倍长轴长,即,此时。
因此,我们构建函数模型:
…………………………………………………………(5)
(5)式中是自变量,,,为待定系数。
为了拟合函数,我们取表1中最具有代表性的数据。
用b=0.25,b=0.50,b=0.75那三行数据,把三个点的坐标:
,,
依次代入函数(5),得到三个关于的一次方程。
我们可以设计一个算法,或者用计算器解这个一次方程组,得到的比例关系。
为了帮助记忆和增加公式的美感,我们将它们近似地化为最简整数比为:
。
把上述值代入函数(5),得:
,再把代入并化简得到椭圆周长近似公式:
……………………………………(6)
笔者取3.141592654验证这个公式,得到表2。
表2中“误差”的计算方法是用函数值与椭圆周长真值的差,除以椭圆周长真值所得的商。
公式(6)C
椭圆周长真值
误差
3.992440664
-0.0019
3.995390384
-0.0014
4.063151007
-0.00020
4.289158624
-0.000012
4.844223672
-0.00000009
5.525873040
-0.0000000001
5.973160433
-0.0000000000
6.251808848
6.283185307
0.00000000000
表2
例1.如图,椭圆长半轴是3,短半轴是2,计算阴影部分的面积和弧AB的长(保留)。
椭圆面积公式是一个标准公式。
我们可以用截面斜截一个圆柱,然后割补圆柱,使底面变为椭圆,由于底面积乘高是一个不变量,根据这个不变量列出等式,只需要初中九年级的三角形相似的比例性质就可以解出这个公式。
阴影部分面积是四分之一椭圆面积减去一个三角形面积,弧AB的长度是椭圆周长的四分之一。
故:
面积:
因为,可用公式(6)。
,得:
。
(这个数误差低于一亿分之一)
接下来处理表2中特别是当时的误差。
将公式改写成关于的函数式,则:
……………(7)
式中。
公式(7)称周钰承椭圆周长初等公式。
值得注意的是,通常情况下我们用公式(6)即可(即公式(7)中前部分。
因为的椭圆在生活与工程中实为罕见;
并且,当时,这部分的值非常小,没有计算的必要。
公式(7)计算椭圆周长的误差约为一亿分之五,见表3:
公式(7)C
4.000000000
0.0000000000
4.001098516
+0.000000047
4.063974075
-0.000000026
4.289210872
-0.000000003
4.844223899
-0.00000004
表3:
周钰承椭圆周长初等公式函数值分布表
用上述这个周钰承初等公式计算,只需要带有函数的计算器或者XX计算器等,便可解决任何情形下的椭圆周长计算问题。
下面介绍中国椭圆周长公式,它是目前精度最高的初等公式。
其中。
…………………………………………(8)
公式中第二项为笔者所改变,改变后在甚至更小时,比中国椭圆周长原公式精度提高了一万倍以上,为其它值时精度也有所提高(这些值原公式的误差就非常低),多数情况下省去第二项进行计算。
该椭圆周长公式精确度低于十亿分之一,为目前世界上不用程序即可计算的精确度最高的初等公式。
用法1:
首先复制下列字符,把a、b改成你想要的数字,再粘贴到XX输入栏按等号即可。
pi*(a+b)*(1+3*((a-b)/(a+b))^2/(10+sqrt(4-3*((a-b)/(a+b))^2))+(4/pi-14/11)*((a-b)/(a+b))^(14.233+13.981*((a-b)/(a+b))^6.42))
例如:
若A=4,B=1时,把下式粘贴到XX高级输入栏。
pi*(4+1)*(1+3*((4-1)/(4+1))^2/(10+sqrt(4-3*((4-1)/(4+1))^2))+(4/pi-14/11)*((4-1)/(4+1))^(14.233+13.981*((4-1)/(4+1))^6.42))
用法2:
用带有函数的学生计算器计算,分两步分别计算两项即可完成全部计算。
三、椭圆周长公式集锦及评价
此处列举了十七个椭圆周长公式,请读者根据自己实际需要选择其中一两个进行运用,希望大家能喜欢这些公式中某一或某些。
一、L1=π·
qn/atan(n)
(b→a,q=a+b,n=((a-b)/a))^2
这是根据圆周长和割圆术原理推导的,精度一般,要用到反三角函数,实用性一般,综合得分50。
二、L2=π·
θ/(π/4)·
(a-c+c/sinθ)
(b→0,c=√(a^2-b^2),θ=acos((a-b)/a)^1.1)
这是根据两对扇形组成椭圆得特点推导的,精度一般,实用性较差,综合得分50。
三、L3=π·
q(1+mn)
(q=a+b,m=4/π-1,n=((a-b)/a)^3.3)
这是根据圆周长公式推导的,精度一般,实用性一般,简洁性较好,综合得分60。
四、
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