高考理科数学考点解析二元一次不等式组与简单的线性规划问题Word格式.docx
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高考理科数学考点解析二元一次不等式组与简单的线性规划问题Word格式.docx
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由得,依题当目标函数直线:
经过时,取得最小值即
3.(2015·
广东高考文科·
T4)若变量x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为 ( )
A.10B.8C.5D.2
【解题指南】先根据不等式组画出可行域,再作直线l0:
2x+3y=0,平移直线l0,找到z取最大值时与可行域的交点,进而求出z的最大值.
【解析】选C.作出可行域如图所示:
作直线,再作一组平行于的直线,当直线经过点时,取得最大值,由得:
,所以点的坐标为,所以.作直线l0:
2x+3y=0,再作一组平行于l0的直线l:
2x+3y=z,
4.(2015·
北京高考理科·
T2)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为 ( )
A.0B.1C.D.2
【解析】选D.作出可行域及l0:
x+2y=0如图所示,把(1,0)代入l0,可知l0的右上方为正,所以向上平移l0,过点(0,1)时z=x+2y取最大值2.
l0:
x+2y=0
5.(2015·
天津高考理科·
T2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为 ( )
A.3 B.4 C.18 D.40
【解析】选C.如图所示,x+2=0与x-y+3=0的交点为(-2,1),x+2=0与2x+y-3=0的交点为(-2,7),x-y+3=0和2x+y-3=0与x轴的交点为(0,3).所以当动直线z=x+6y经过(0,3)时,z取到最大值.
zmax=0+6×
3=18.
6.(2015·
天津高考文科·
T2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为 ( )
A.7B.8C.9D.14
【解析】选C.画出约束条件表示的可行域,如图所示,由得A(2,3).
当直线z=3x+y过点A时,z取得最大值9.
7.(2015·
山东高考理科·
T6)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a= ( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3
【解题指南】首先画出可行域,分情况讨论可得正确结果;
还可以结合选择题的特点直接将选项代入验证.
【解析】选B.由约束条件可画可行域如图,解得A(2,0),B(1,1).若过点A(2,0)时取最大值4,则a=2,验证符合条件;
若过点B(1,1)时取最大值4,则a=3,而若a=3,则z=3x+y最大值为6(此时A(2,0)是最大值点),不符合题意.(也可直接代入排除)
8.(2015·
重庆高考文科·
T10)若不等式组表示的平面区域为三角形,且面积等于,则的值为()
ABC.D.
【解题指南】首先根据条件画出可行域,然后根据面积即可求出参数的值.
【解析】选B.根据题意画出可行域如图
由图可知,且A为直角
因为
三角形ABC面积,解得或
当时,可行域不存在,所以
9.(2015·
福建高考理科·
T5)若变量x,y满足约束条件则z=2x-y的最小值等于 ( )
A.-B.-2C.-D.2
【解题指南】画出可行域,根据目标函数确定出在y轴上截距最大时,z取最小值.
【解析】选A.画出可行域如图所示,当目标函数平移至B点时截距最大,所以,把坐标代入目标函数可得
10.(2015·
福建高考文科·
T10)变量x,y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于 ( )
A.-2B.-1C.1D.2
【解题指南】数形结合对m值进行分析并且注意目标函数中z与y异号.
【解析】选C.如图所示,当m≤0时,比如在①的位置,此时为开放区域无最大值,当m>
2时,比如在②的位置,此时在原点取得最大值不满足题意,当0<
m<
2时,在点A取得最大值,所以
⇒A代入得m=1.
11.(2015·
陕西高考理科·
T10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为 ( )
甲
乙
原料限额
A(吨)
3
2
12
B(吨)
1
8
A.12万元B.16万元
C.17万元D.18万元
【解题指南】设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元,然后根据题目条件建立约束条件,得到目标函数,画出约束条件所表示的区域,然后利用平移法求出z的最大值.
【解析】选D.设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨,y吨,利润为z万元,
则
目标函数为z=3x+4y.
作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域.
由z=3x+4y得y=-x+,
平移直线y=-x+,由图像可知当直线y=-x+经过点A时,直线y=-x+在y轴上的截距最大,此时z最大,
解方程组得
即A的坐标为(2,3),
所以zmax=3x+4y=6+12=18.
即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨,3吨,能够产生最大的利润,最大的利润是18万元.
12.(2015·
陕西高考文科·
T11)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为 ( )
则,
解方程组,得,
二、填空题
13.(2015·
山东高考文科·
T12)若x,y满足约束条件则z=x+3y的最大值为 .
【解题指南】本题考查简单的线性规划问题,可将可行域的边界顶点代入求值.
【解析】可行域是以(0,1),(1,2),(2,1)为顶点的三角形内部及边界区域,目标函数过x-y+1=0与x+y-3=0的交点(1,2)时z=x+3y的值最大,且最大值为7.
答案:
7
14.(2015·
浙江高考文科·
T14)已知实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是 .
【解析】画出区域x2+y2≤1,
则2x+y-4<
0,6-x-3y>
0,
所以|2x+y-4|+|6-x-3y|=4-2x-y+6-x-3y=10-3x-4y,
令z=10-3x-4y.
如图,设OA与直线-3x-4y=0垂直,
所以直线OA:
y=x,
由得A(-,-),
所以当z=10-3x-4y过点A时,z取最大值,zmax=10-3×
(-)-4×
(-)=15.
15
15.(2015·
北京高考文科·
T13)如图,△ABC及其内部的点组成的集合记为D,P(x,y)为D中任意一点,则z=2x+3y的最大值为 .
C(0,2)
【解题指南】利用线性规划知识解决.
【解析】l0:
2x+3y=0.代入(1,0)大于0,所以往右上平移过A时取最大值7.
16.(2015·
浙江高考理科·
T14)若实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是 .
【解题指南】对|2x+y-2|+|6-x-3y|去绝对值化简(注意分类讨论),再从x2+y2≤1表示的可行域里求解.
【解析】x2+y2≤1表示圆x2+y2=1及其内部,易得直线6-x-3y=0与圆相离,故|6-x-3y|=6-x-3y,当2x+y-2≥0时,|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4,如图所示,可行域为小的弓形内部,目标函数z=x-2y+4,则可知当x=,y=时,zmin=3,当2x+y-2<
0时,|2x+y-2|+|6-x-3y|=8-3x-4y,可行域为大的弓形内部,目标函数z=8-3x-4y,同理可知当x=,y=时,zmin=3,综上所述,|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为3.
17.(2015·
新课标全国卷Ⅰ理科·
T15)若x,y满足约束条件则的最大值为 .
【解题指南】由约束条件画出可行域,根据是可行域内一点与原点连线的斜率进行求解.
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,
由斜率的意义知,是可行域内一点与原点连线的斜率,由图可知,点A(1,3)与原点连线的斜率最大,故的最大值为3.
18.(2015·
新课标全国卷Ⅰ文科·
T15)若x,y满足约束条件则z=3x+y的最大值为 .
【解析】画出可行域如图所示,
目标函数y=-3x+z,当z取到最大值时,y=-3x+z的纵截距最大,即将直线移到点C时,解得C(1,1),zmax=3×
1+1=4.
19.(2015·
新课标全国卷Ⅱ理科·
T14)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为 .
目标函数y=-x+z,当z取到最大值时,y=-x+z的纵截距最大,故将直线移到点时,
答案:
20.(2015·
新课标全国卷Ⅱ文科·
T4)若x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为 .
【解析】画出可行域如图所示
目标函数y=-2x+z,当z取到最大值时,y=-2x+z的纵截距最大,故将直线移到点B(3,2)时,zmax=2×
3+2=8.
21.(2015·
湖北高考文科·
T12)设变量x,y满足约束条件则3x+y的最大值为 .
【解析】首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如图所示,然后根据图象可得:
目标函数z=3x+y过点B(3,1)时取得最大值,即zmax=3×
3+1=10.
10
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