高中数学函数解题技巧方法总结高考学生版Word格式文档下载.docx
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四、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
例求函数y=的值域
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=-2x+5,x[-1,2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面
4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例求函数y=值域。
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。
我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
例求函数y=,,的值域。
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=(2≤x≤10)的值域
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。
换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发
挥作用。
例求函数y=x+的值域。
8数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这
类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例:
已知点P(x.y)在圆x2+y2=1上,
例求函数y=+的值域。
例求函数y=+的值域
9、不等式法
利用基本不等式a+b≥2,a+b+c≥3(a,b,c∈),求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
10.倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
五、.如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
判断函数单调性的方法有三种:
(1)定义法:
根据定义,设任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之间的大小关系
可以变形为求的正负号或者与1的关系
(2)参照图象:
①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性;
(特例:
奇函数)
②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。
(特例:
偶函数)
(3)利用单调函数的性质:
①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c>0时,它们是同向变化的;
当c<0时,它们是反向变化的。
③如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;
(函数相加)
④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;
如果负值函数f1
(2)与f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;
(函数相乘)
⑤函数f(x)与在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递增的;
若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递减的。
(同增异减)
f(g)
g(x)
f[g(x)]
f(x)+g(x)
f(x)*g(x)都是正数
增
减
/
六、.如何利用导数判断函数的单调性?
值是()
七、函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:
两个奇函数的乘积是偶函数;
两个偶函数的乘积是偶函数;
一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
八.判断函数奇偶性的方法
1、定义域法
一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数.
1、奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
2、复合函数奇偶性
f(x)*g(x)
奇
偶
非奇非偶
九、.你熟悉周期函数的定义吗?
函数,T是一个周期。
)
我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况:
告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这时说这个函数周期2t.推导:
,
同时可能也会遇到这种样子:
f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:
函数f(x)关于直线对称,对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。
比如,f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。
如:
十.你掌握常用的图象变换了吗?
联想点(x,y),(-x,y)
联想点(x,y),(x,-y)
联想点(x,y),(-x,-y)
联想点(x,y),(y,x)
联想点(x,y),(2a-x,y)
联想点(x,y),(2a-x,0)
注意如下“翻折”变换:
十一、你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
(k为斜率,b为直线与y轴的交点)
的双曲线。
应用:
①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
②求闭区间[m,n]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。
④一元二次方程根的分布问题。
由图象记性质!
(注意底数的限定!
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
(均值不等式一定要注意等号成立的条件)
15.你在基本运算上常出现错误吗?
16.如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了
1、代y=x,
2、令x=0或1来求出f(0)或f
(1)
3、求奇偶性,令y=—x;
求单调性:
令x+y=x1
几类常见的抽象函数
1.正比例函数型的抽象函数
f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±
y)=f(x)±
f(y)
2.幂函数型的抽象函数
f(x)=xa----------------f(xy)=f(x)f(y);
f()=
3.指数函数型的抽象函数
f(x)=ax-------------------f(x+y)=f(x)f(y);
f(x-y)=
4.对数函数型的抽象函数
f(x)=logax(a>
0且a≠1)-----f(x·
y)=f(x)+f(y);
f()=f(x)-f(y)
5.三角函数型的抽象函数
f(x)=tgx--------------------------f(x+y)=
f(x)=cotx------------------------f(x+y)=
例1已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>
0时,f(x)>
0,f(-1)=-2求f(x)在区间[-2,1]上的值域.
分析:
先证明函数f(x)在R上是增函数(注意到f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1));
再根据区间求其值域.
例2已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>
2,f(3)=5,求不等式f(a2-2a-2)<
3的解.
先证明函数f(x)在R上是增函数(仿例1);
再求出f
(1)=3;
最后脱去函数符号.
例3已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,f(x)∈[0,1].
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明;
(3)若a≥0且f(a+1)≤,求a的取值范围.
(1)令y=-1;
(2)利用f(x1)=f(·
x2)=f()f(x2);
(3)0≤a≤2.
例4设函数f(x)的定义域是(-∞,+∞),满足条件:
存在x1≠x2,使得f(x1)≠f(x2);
对任何x和y,f(x+y)=f(x)f(y)成立.求:
(1)f(0);
(2)对任意值x,判断f(x)值的符号.
(1)令x=y=0;
(2)令y=x≠0.
例5是否存在函数f(x),使下列三个条件:
①f(x)>
0,x∈N;
②f(a+b)=f(a)f(b),a、b∈N;
③f
(2)=4.同时成立?
若存在,求出f(x)的解析式,若不存在,说明理由.
先猜出f(x)=2x;
再用数学归纳法证明.
例6设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(x·
y)=f(x)+f(y),f(3)=1,求:
(1)f
(1);
(2)若f(x)+f(x-8)≤2,求x的取值范围.
(1)利用3=1×
3;
(2)利用函数的单调性和已知关系式.
例7设函数y=f(x)的反函数是y=g(x).如果f(ab)=f(a)+f(b),那么g(a+b)=g(a)·
g(b)是否正确,试说明理由.
设f(a)=m,f(b)=n,则g(m)=a,g(n)=b,
进而m+n=f(a)+f(b)=f(ab)=f[g(m)g(n)]….
例8已知函数f(x)的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件:
1x1、x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=;
2f(a)=-1(a>0,a是定义域中的一个数);
3当0<x<2a时,f(x)<0.
试问:
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