北京市人大附中高考信息卷文科数学试题及答案及评分标准文档格式.docx
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北京市人大附中高考信息卷文科数学试题及答案及评分标准文档格式.docx
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A.B.C.D.
7.已知是球的球面上的五个点,四边形为梯形,面,则球的体积为
A.B.C.D.
8.设函数有三个零点,则实数的取值范围为
A.B.C.D.
第二部分(非选择题共110分)
2、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
9.已知直线与平行,则,与之间的距离为
10.已知函数是偶函数,则
11.假设要考察某公司生产的流感疫苗的剂量是否达标,现从500支疫苗中抽取50支进行检验,利用随机数表抽取样本时,先将500支疫苗按000,001,…,499进行编号,如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读,请写出第8支疫苗的编号_______.
(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
84421753315724550688770474476721763350258392120676
63016378591695566719981050717512867358074439523879
33211234297864560782524207443815510013429966027954
12.已知椭圆:
以原点为圆心,椭圆的短轴长为直径作圆;
以右顶点为圆心,椭圆的长轴长为直径作圆,则圆与圆的公共弦长为.
13.定义在上的函数满足,若,且,则=.
14.我国南北朝时期数学家祖暅,提出了著名的祖暅原理:
“缘幂势既同,则积不容异也”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高几何体,若在每一等高处的截面积都相等,则两几何体体积相等.已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”,其中俯视图中的圆弧为圆周,则该不规则几何体的体积为
三、解答题共6小题,共80分。
解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
15.(本小题满分13分)
在中,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若是锐角三角形,求的面积.
16.(本小题满分13分)
某学校为了解学生的体质健康状况,对高一、高二两个年级的学生进行了体质测试.现从两个年级学生中各随机选取人,将他们的测试数据,用茎叶图表示如下:
《国家学生体质健康标准》的等级标准如下表.规定:
测试数据≥,体质健康为合格.
等级
优秀
良好
及格
不及格
测试数据
(I)从该校高二年级学生中随机选取一名学生,试估计这名学生体质健康合格的概率;
(II)从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生,求选取的两名学生的测试数据平均数大于的概率;
(III)设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为,高二学生测试数据的平均数和方差分别为,试估计、的大小.(只需写出结论)
17.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=+alnx(a≠0,a∈R).
(1)若a=1,求函数f(x)的极值和单调区间;
(2)若在区间(0,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)<0成立,求实数a的取值范围.
18.(本小题满分13分)
已知函数在上的零点为等差数列的首项,且数列的公差.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
19.(本小题满分13分)
如图,是边长为的等边三角形,四边形为正方形,平面⊥平面.点分别为棱上的点,且,为棱上一点,且.
(Ⅰ)当时,求证:
∥平面;
(Ⅱ)已知三棱锥的体积为,求的值.
20.(本小题满分14分)
如图,是离心率为的椭圆的左、右顶点,是该椭圆的左、右焦点,是直线上两个动点,连接和,它们分别与椭圆交于点两点,且线段恰好过椭圆的左焦点.当时,点恰为线段的中点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)判断以为直径的圆与直线位置关系,并加以证明.
试题参考答案及评分标准
一.选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
二.填空题
9.10.11.02512.13.414.
三.解答题
解:
(Ⅰ)在中,因为,,,
所以由正弦定理
得
(Ⅱ)方法1:
因为,,所以,所以,
即一定为锐角,所以为中的最大角
所以为锐角三角形当且仅当为锐角
因为,所以
因为
所以
方法2:
由余弦定理
即
解得或
当时,,与为锐角三角形矛盾,舍去
当时,,所以为锐角,
因为,所以为最大角,所以为锐角三角形
所以.
所以的面积为
(I)高二年级学生样本中合格的学生数为:
,
样本中学生体质健康合格的频率为.
所以从该校高二年级学生中随机选取一名学生,估计这名学生体质健康合格的概率为.
….4分
(II)设等级为优秀的样本中高一年级测试数据是的学生分别为高二年级测试数据是的学生分别为选取的两名学生构成的基本事件空间为,总数为,
选取的测试数据平均数大于95的两名学生构成的基本事件空间为,总数为,
所以从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生,选取的两名学生的测试数据平均数大于95的概率为.….9分
(III).….13分
(1)当a=1时,f′(x)=-+=.
令f′(x)=0,得x=1.(1分)
又f(x)的定义域为(0,+∞),由f′(x)<0得0<x<1,由f′(x)>0得,x>1.所以x=1时,f(x)取得极小值f
(1)=1,无极大值,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).(3分)
(2)若在区间(0,e]上存在一点x0,使得f(x0)<0成立,即f(x)在区间(0,e]上的最小值小于0.
由已知得,f′(x)=-+=,且a≠0,令f′(x)=0,得x=,(4分)
当x=<0,即a<0时,f′(x)<0恒成立,即f(x)在区间(0,e]上单调递减,(5分)
故f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)=+alne=+a,(6分)
由+a<0,得a<-,即a∈.(7分)
当x=>0,即a>0时,
①若e≤,则f′(x)≤0对x∈(0,e]恒成立,所以f(x)在区间(0,e]上单调递减,(8分)
故f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)=+alne=+a>0,显然,f(x)在区间(0,e]上的最小值小于0不成立.(9分)
②若0<<e,即a>时,则有
x
f′(x)
-
+
f(x)
极小值
所以f(x)在区间(0,e]上的最小值为f=a+aln,(10分)
由f=a+aln=a(1-lna)<0,得1-lna<0,解得a>e,即a∈(e,+∞).(12分)
综上可知,a∈∪(e,+∞).(14分)
解析:
(1)因为…………1分
所以,由题意有…………3分
由于,所以是以为首项,为公差的等差数列…………4分
所以…………6分
(2)…………7分
①…………8分
②…………9分
则①②得:
所以…………13分
(Ⅰ)连接,当时,,
∴四边形是平行四边形,∴,
∵,∴,∵,,
∴平面平面,又平面,∴平面
(Ⅱ)取的中点为,连接,则,
∵平面平面,∴平面.
过点作于点,连接,则平面,则
(Ⅰ)∵当时,点恰为线段的中点,
∴,又,联立解得:
,,,……………(3分)
∴椭圆的方程为.………………………………(4分)
(Ⅱ)由题意可知直线不可能平行于轴,设的方程为:
,()、(),
联立得:
∴,
∴……(*)………………………………(6分)
又设,由A、E、D三点共线得,
同理可得.……………(8分)
∴.………………………………(10分)
设中点为,则坐标为()即(),
∴点到直线的距离.
故以为直径的圆始终与直线相切.………………………………(14分)
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