高中数学同步导学新课标函数的综合应用专题五 函数模型答案解析Word格式文档下载.docx
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二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)
指数函数模型
f(x)=bax+c(a、b、c为常数,a>
0且a≠1,b≠0)
对数函数模型
f(x)=blogax+c(a、b、c为常数,a>
幂函数模型
f(x)=axn+b(a、b、n为常数,a≠0,n≠0)
对勾函数模型
f(x)=x+(a为常数,a>
0)
基础自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×
”)
(1)函数y=2x的函数值在(0,+∞)上一定比y=x2的函数值大( )
(2)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>
1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>
0)的增长速率.( )
(3)“指数爆炸”是指数型函数y=abx+c(a≠0,b>
0,b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( )
(4)幂函数增长比直线增长更快.( )
(5)某种商品进价为每件100元,按进价增加25%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.( )
【答案】
(1)×
(2)√ (3)×
(4)×
(5)√
2.某电信公司推出两种手机收费方式:
A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图,当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差( )
A.10元B.20元
C.30元D.元
3.(2015·
深圳模拟)用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积增大,则隔墙的长度为
( )
A.3B.4
C.6D.12
【解析】 设隔墙的长为x(0<
x<
6),矩形面积为y,则y=x×
=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,∴当x=3时,y最大.故选A.
【答案】 A
4.(2015·
郑州第二次质检)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位:
10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如右图所示),则每辆客车营运多少年时,其营运的平均利润最大( )
C.5D.6
【解析】 由题图可得营运总利润y=-(x-6)2+11,
则营运的年平均利润=-x-+12,
∵x∈N*,∴≤-2+12=2,
当且仅当x=,即x=5时取“=”.
∴x=5时营运的平均利润最大.故选C.
【答案】 C
5.(2015·
长春模拟)一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.
【解析】 当t=0时,y=a,当t=8时,y=ae-8b=a,
∴e-8b=,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,
即y=ae-bt=a,e-bt==(e-8b)3=e-24b,
则t=24,所以再经过16min.
【答案】 16
考点一 一次函数与二次函数模型的应用
1.在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0),构建一次函数模型,利用一次函数的图象与单调性求解.
2.有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等,这类问题需构建二次函数模型,利用二次函数图象与单调性解决.
特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域.
【例一】某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8000,已知此生产线年产量最大为210吨.
(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本;
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?
最大利润是多少?
【解题指导】 切入点:
列出函数解析式;
关键点:
根据函数性质求解.
【解析】
(1)由题意知0<
x≤210
每吨平均成本为(万元).
则=+-48≥2-48=32,
∵R(x)在上是增函数,
∴x=210时,R(x)有最大值,为-(210-220)2+1680=1660.
∴当年产量为210吨时,可以获得最大利润,最大利润为1660万元.
【名师点睛】
在实际问题中优化、面积、利润、产量等问题常与二次函数有关,可建立二次函数模型,常利用配方法借助于对称轴和单调性求最值问题.
针对训练
某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出;
当每辆车的月租金增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车辆每月需要维护费200元.
(1)当每辆车月租金为3600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金为多少元时,租赁公司的月收益最大?
最大月收益是多少元?
【解析】
(1)当每辆车的月租金定为3600元时,未租出的车辆数为=12,所以这时租出了88辆车.
(2)设每辆车的月租金定为x(x≥3000)元,则租赁公司的月收益为
f(x)=(x-200),整理得
f(x)=(8000-x)(x-200)=-x2+164x-32000=-(x-4100)2+304200.
所以,当x=4100时,f(x)最大.
最大值为f(4100)=304200,即当每辆车的月租金定为4100元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为304200元.
考点二 指数函数模型
指数函数模型常与增长率相结合,在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示.通常可表示为y=a·
(1+p)x(其中a为原来的基础数,p为增长率,x为时间)的形式.
指数函数模型中的定义域一般为N*.
【例二】
(1)(2015·
青岛模拟)世界人口在过去40年翻了一番,则每年人口平均增长率是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)( )
A.1.5%B.1.6%
C.1.7%D.1.8%
(2)(2015·
四川卷)某食品的保鲜时间y(单位:
小时)与储藏温度x(单位:
℃)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.
指数函数模型;
建立方程或方程组求解.
【答案】
(1)C
(2)24
一般地,涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等,都可以考虑用指数函数的模型求解.求解时注意指数式与对数式的互化,指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制.
1.某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A.略有盈利
B.略有亏损
C.没有盈利也没有亏损
D.无法判断盈亏情况
【解析】 设该股民购这支股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×
1.1n元,经历n次跌停后的价格为a×
1.1n×
(1-10%)n=a×
0.9n=a×
(1.1×
0.9)n=0.99n·
a<
a,故该股民这支股票略有亏损.故选B.
【答案】 B
2.用清水漂洗衣服,假定每次能洗去污垢的,若要使存留的污垢不超过原有的1%,则至少要漂洗( )
A.3次B.4次
C.5次D.5次以上
【解析】 由题意得a·
≤a·
1%,即≤,则n要取大于或等于4的整数,所以至少要漂洗4次,故选B.
南京二模)某地发生某种自然灾害,使当地的自来水受到了污染,某部门对该地的水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m个单位的药剂后,经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y=mf(x),其中f(x)=当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)时称为有效净化;
当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且不高于18(毫克/升)时称为最佳净化.若投放的药剂质量为m个单位,为使在7天(从投放药剂当天算起包括第7天)之内的自来水达到最佳净化,m的取值范围是________.
【解析】 由题意得,对任意的x∈(0,7],6≤mf(x)≤18(m>
0)恒成立,因为f(x)=所以对任意的x∈(0,4],6≤mlog2(x+4)≤18(m>
0),且对任意的x∈(4,7],6≤≤18,所以且所以即5≤m≤6.
【答案】
考点三 分段函数模型
1.现实生活中有很多问题都可以用分段函数表示,如出租车计费、个人所得税等问题,分段函数是解决实际问题的重要模型.
2.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可先将其看作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的变化范围,特别是端点值.
构造分段函数时,要力求准确简捷,做到分段合理,不重不漏.
【例三】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:
千米/小时)是车流密度x(单位:
辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;
当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:
当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:
辆/小时)f(x)=x·
v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)
构造分段函数,表示v(x),f(x);
利用一元二次函数配方法或基本不等式求解.
【解析】
(1)由题意:
当0≤x≤20时,v(x)=60;
当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b,
再由已知,得解得
故函数v(x)的表达式为
v(x)=
(2)依题意并由
(1)可得
f(x)=
当0≤x≤20时,f(x)为增函数,
故当x=20时,其最大值为60×
20=1200;
当20<
x≤200时,f(x)=x(200-x)≤
对于分段函数模型的最值问题,应该先求出每一段上的最值,然后再比较大小.另外在利用均值不等式求解最值时,一定要检验等号成立的条件,也可通过函数的单调性求解最值.
(2016·
沈阳二中期中测试)某市居民自来水收费标准如下:
每户每月用水不超过4吨时,每吨为1.80元,当用水超过4吨时,超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨).
(1)求y关于x的函数
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