专题28 数列综合问题 学年高一数学必修5专题强化训练含答案Word格式.docx
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故选C
2.巳知集合P={},Q={},将P∪Q的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{},记为数列{}的前n项和,则使得<
1000成立的的最大值为
A.9B.32C.35D.61
数列{an}的前n项依次为:
1,2,3,22,5,7,23,…….
利用列举法可得:
当n=35时,P∪Q中的所有元素从小到大依次排列,构成一个数列{an},
所以数列{an}的前35项分别1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,
…,69,2,4,8,16,32,64
Sn=29++=29=967<
1000
当n=36时,P∪Q中的所有元素从小到大依次排列,构成一个数列{an},
所以数列{an}的前36项分别1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,
…,71,2,4,8,16,32,64
Sn=30+=900+126=1026>
所以n的最大值35.
故选:
C
3.2018年9月24日,英国数学家M.F阿蒂亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动.黎曼猜想来源于一些特殊数列求和,记
A.
B.
C.
D.
由题意可知:
,
且
综上可得:
.
本题选择C选项.
4.已知函数对任意实数a,b满足,且,若,则数列的前9项和为
A.9B.C.D.1
函数对一切实数满足,
数列是等比数列,首项为2,公比为2.
.
数列的通项.
数列的前9项和为:
故选C.
5.已知函数的定义域为,对任意R都有,则=
A.B.C.D.
【答案】B
由,且,
得,
,故选B.
6.已知数列的前项和为,通项公式,则满足不等式的最小值是()
A.62B.63
C.126D.127
【答案】D
因为,所以,即,
故应选D.
7.对于数列,定义的“优值”,现已知某数列的“优值”,记数列的前项和为,则()
A.2022B.1011C.2020D.1010
由,
得, ①
, ②
①-②得,即,
所以.故选B.
8.已知数列的前n项和为Sn,且Sn=n2+4n,若首项为的数列满足,则数列的前10项和为
【答案】A
由,可得,
根据,结合题的条件,应用累加法可求得,
所以,
所以数列的前项和为,
故选A.
9.如图所示,将若干个点摆成三角形图案,每条边(包括两个端点)有n(n>
1,n∈N*)个点,相应的图案中总的点数记为an,则等于()
,所以
因此等于,选B.
10.已知不等式对一切正整数恒成立,则实数的取值范围为()
不等式左边是一个单调递增的数列,故当时取得最小值为.故,即,也即,解得.故选B.
11.已知数列的通项公式是,则
A.110B.100C.55D.0
∵=n,n∈N*,∴an=n2sin(π)=,
∴a1+a2+a3+…+a10=22﹣12+42﹣32+…+102﹣92=1+2+3+…+10=
12.数列的前n项之和为()
数列的通项为:
,求和可以分为一个等差数列,首项为2,公差为1,和一个等比数列,首项为,公比为,将两个数列分别求和,
化简得到.
故答案为:
C.
13.已知数列满足,则__,__.
【答案】23028
当为偶数时,则有为奇数,
所以当为偶数时,,
故有.
故答案为2,3028.
14.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=1,an+1+Sn·
Sn+1=0,则数列{Sn·
Sn+1}的前10项和为________。
【答案】
设是数列的前项和,且得到,因此是以为首项,为公差的等差数列,故,∴,∴.
15.设数列的前n项和为,已知,则数列的前2n项和为______.
解:
根据题意,数列{an}满足2Sn=
(1)an+1,①
则有2Sn﹣1=
(1)an,②
①﹣②可得:
(1)(an+1﹣3an)=0,
则有an+1﹣3an=0,即an+1=3an,(n≥2)
又由2Sn=
(1)an+1,当n=1时,a2=3,a1=1,
则数列{an}是首项为1,公比为3的等比数列,则an=3n﹣1;
bn=(﹣1)n•(log3an)2=(﹣1)n•(log3(3n﹣1)]2=(﹣1)n(n﹣1)2,
则b2n﹣1+b2n=﹣(2n﹣2)2+(2n﹣1)2=4n﹣3;
数列{bn}的前2n项和T2n=1+5+9+……+(4n﹣3)2n2﹣n;
2n2﹣n.
16.在各项均为正数的等比数列中,,当取最小值时,则数列的前项和为__________.
等比数列中,,所以
,令
则,令
解得,因为各项均为正数的等比数列
所以
当时,
所以在取得最小值
设,代入化简可得
所以
两式相减得
17.已知是各项为正数的等比数列,是等差数列,且.
的通项公式;
,求数列的前n项和为.
(Ⅰ);
(Ⅱ).
设等比数列的公比为,等差数列的公差为d,
,可得
解得,
则;
则前n项和为
18.在等差数列和等比数列中,.
求数列的前n项和.
(Ⅰ)(Ⅱ)
设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q.
依题意,得
解得舍去
因为,
19.已知数列为等差数列,,且满足,数列满足.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前n项和.
(I);
(Ⅱ).
(I)由等差数列的性质可得:
解得.
数列满足,
可得:
数列是等比数列,公比为2.
∵.∴,解得.
∴.
(Ⅱ)若,
∴数列的前n项和,
∴,
可得.
20.设数列的前n项和为,若.
(1)求出数列的通项公式;
(2)已知,数列的前n项和记为,证明:
(1)
(2)见解析
(1)因为,所以
两式相减可得,即
在中,令可得:
所以数列是首项为,公比为的等比数列
(2)
所以:
所以是一个单调递增的数列
21.在等比数列中,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,若,求的最小值.
(1);
(2)5.
(1)由数列为等比数列,且,得,解得.
则数列的通项公式.
当时,,所以;
当时,;
当时,.
所以,的最小值为.
22.已知等差数列与公比为正数的等比数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
(1).
(2)
(1)由题意.
设公差为,公比为,则,
解得.
故;
(2)因为,
故.
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