三年高考理科数学高考真题分类汇总数列的综合应用Word格式.docx
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2.(2019浙江20)设等差数列的前n项和为,,,数列满足:
对每个成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)记证明:
(1)设数列的公差为d,由题意得
解得.
从而.
由成等比数列得
.
所以.
(2).
我们用数学归纳法证明.
①当n=1时,c1=0<
2,不等式成立;
②假设时不等式成立,即.
那么,当时,
即当时不等式也成立.
根据
(1)和
(2),不等式对任意成立.
3.(2019江苏20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.
(1)已知等比数列{an}满足:
,求证:
数列{an}为“M-数列”;
(2)已知数列{bn}满足:
,其中Sn为数列{bn}的前n项和.
①求数列{bn}的通项公式;
②设m为正整数,若存在“M-数列”{cn},对任意正整数k,当k≤m时,都有成立,求m的最大值.
解析
(1)设等比数列{an}的公比为q,所以a1≠0,q≠0.
由,得,解得.
因此数列为“M—数列”.
(2)①因为,所以.
由,得,则.
由,得,
当时,由,得,
整理得.
所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.
因此,数列{bn}的通项公式为bn=n.
②由①知,bk=k,.
因为数列{cn}为“M–数列”,设公比为q,所以c1=1,q>
0.
因为ck≤bk≤ck+1,所以,其中k=1,2,3,…,m.
当k=1时,有q≥1;
当k=2,3,…,m时,有.
设f(x)=,则.
令,得x=e.列表如下:
x
e
(e,+∞)
+
–
f(x)
极大值
因为,所以.
取,当k=1,2,3,4,5时,,即,
经检验知也成立.
因此所求m的最大值不小于5.
若m≥6,分别取k=3,6,得3≤q3,且q5≤6,从而q15≥243,且q15≤216,
所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.
综上,所求m的最大值为5.
4.(2019北京理20)已知数列,从中选取第项、第项、…、第项,若,则称新数列为的长度为m的递增子列。
规定:
数列的任意一项都是的长度为1的递增子列。
(Ⅰ)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列;
(Ⅱ)已知数列的长度为P的递增子列的末项的最小值为,长度为q的递增子列的末项的最小值为,若p<
q,求证:
;
(Ⅲ)设无穷数列的各项均为正整数,且任意两项均不相等,若的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1,且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有个(s=1,2,…),求数列的通项公式.
(I)1,3,5,6.(答案不唯一).
(II)设长度为q末项为的一个递增子列为.
由,.
因为的长度为p的递增子列末项的最小值为.
又是的长度为p的递增子列,所以所以.
(III)由题设知,所有正奇数都是中的项.
先证明:
若2m是中的项,则2m必排在2m-1之前(m为正整数).
假设2m排在2m-1之后,设是数列的长度为m末项为2m-1的递增子列,则是数列的长度为m+1末项为2m的递增子列,与已知矛盾.
再证明:
所有正偶数都是中的项.
假设存在正偶数不是中的项,设不在中的最小正偶数为2m.
因为2k排在2k-1之前,所以2k和2k-1不可能在的同一个子列中.
又中不超过的数为1,2,…..,,,
所以的长度为末项为的递增子列个数至多为
,与已知矛盾.
最后证明排在之后(为整数).
假设存在(),使得排在之前,则的长度为末项为的递增子列个数小于,与已知矛盾.
综上,数列只可能为.
经验证,数列符合条件,
所以.
2017、2018年
一、选择题
1.(2017新课标Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:
已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推.求满足如下条件的最小整数:
且该数列的前项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是
A.440B.330C.220D.110
A【解析】对数列进行分组如图
则该数列前组的项数和为
由题意可知,即,解得,
即出现在第13组之后.
又第组的和为
前组的和为
设满足条件的的在第(,)组,且第项为第的第个数,第组的前项和为,
要使该数列的前项和为2的整数幂,
即与互为相反数,
即,
所以,
由,所以,则,此时
对应满足的最小条件为,故选A.
二、填空题
1.(2018江苏)已知集合,.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前项和,则使得成立的的最小值为.
27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成,在数列中,前面有16个正奇数,即,.当时,,不符合题意;
当时,,不符合题意;
……;
当时,=441+62=503<
,不符合题意;
当时,=484+62=546>
=540,符合题意.故使得成立的的最小值为27.
三、解答题
1.(2018江苏)设是首项为,公差为的等差数列,是首项为,公比为的等比数列.
(1)设,若对均成立,求的取值范围;
(2)若,证明:
存在,使得对均成立,并求的取值范围(用表示).
【解析】
(1)由条件知:
.
因为对=1,2,3,4均成立,
即对=1,2,3,4均成立,
即11,13,35,79,得.
因此,的取值范围为.
(2)由条件知:
若存在,使得(=2,3,·
·
,+1)成立,
即(=2,3,·
,+1),
即当时,满足.
因为,则,
从而,,对均成立.
因此,取=0时,对均成立.
下面讨论数列的最大值和数列的最小值().
①当时,,
当时,有,从而.
因此,当时,数列单调递增,
故数列的最大值为.
②设,当时,,
所以单调递减,从而.
因此,当时,数列单调递减,
故数列的最小值为.
2.(2017天津)已知为等差数列,前n项和为,是首项为2的等比数列,且公比大于0,,,.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)求数列的前n项和.
(Ⅰ)设等差数列的公差为,等比数列的公比为.
由已知,得,而,所以.
又因为,解得.所以,.
由,可得①.
由,可得②,
联立①②,解得,,由此可得.
所以,数列的通项公式为,数列的通项公式为.
(Ⅱ)设数列的前项和为,
由,,有,
故,
上述两式相减,得
得.
所以,数列的前项和为.
3.(2017浙江)已知数列满足:
,.
证明:
当时
(Ⅰ);
(Ⅱ);
(Ⅲ).
(Ⅰ)用数学归纳法证明:
当时,
假设时,,
那么时,若,则,矛盾,故.
因此
所以
(Ⅱ)由得
记函数
函数在上单调递增,所以=0,
故
(Ⅲ)因为
所以得
由得
所以
综上,.
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