届高三数学一轮总复习 第六章 数列文教师用书Word格式.docx
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本章难点:
1.数列概念的理解;
2.等差等比数列性质的运用;
3.数列通项与求和方法的运用.
仍然会以客观题考查等差数列与等比数列的通项公式和前n项和公式及性质,在解答题中,会保持以前的风格,注重数列与其他分支的综合能力的考查,在高考中,数列常考常新,其主要原因是它作为一个特殊函数,使它可以与函数、不等式、解析几何、三角函数等综合起来,命出开放性、探索性强的问题,更体现了知识交叉命题原则得以贯彻;
又因为数列与生产、生活的联系,使数列应用题也倍受欢迎.
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6.1 数列的概念与简单表示法
典例精析
题型一 归纳、猜想法求数列通项
【例1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式:
(1)7,77,777,7777,…
(2),-,,-,…
(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…
【解析】
(1)将数列变形为·
(10-1),(102-1),(103-1),…,(10n-1),
故an=(10n-1).
(2)分开观察,正负号由(-1)n+1确定,分子是偶数2n,分母是1×
3,3×
5,5×
7,…,(2n-1)(2n+1),故数列的通项公式可写成an=(-1)n+1.
(3)将已知数列变为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,9+0,….
故数列的通项公式为an=n+.
【点拨】联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法,观察归纳是由特殊到一般的有效手段,本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项序数的一般规律,从而求得通项.
【变式训练1】如下表定义函数f(x):
x
1
2
3
4
5
f(x)
对于数列{an},a1=4,an=f(an-1),n=2,3,4,…,则a2008的值是( )
A.1B.2C.3D.4
【解析】a1=4,a2=1,a3=5,a4=2,a5=4,…,可得an+4=an.
所以a2008=a4=2,故选B.
题型二 应用an=求数列通项
【例2】已知数列{an}的前n项和Sn,分别求其通项公式:
(1)Sn=3n-2;
(2)Sn=(an+2)2(an>0).
(1)当n=1时,a1=S1=31-2=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×
3n-1,
又a1=1不适合上式,
故an=
(2)当n=1时,a1=S1=(a1+2)2,解得a1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an+2)2-(an-1+2)2,
所以(an-2)2-(an-1+2)2=0,所以(an+an-1)(an-an-1-4)=0,
又an>0,所以an-an-1=4,
可知{an}为等差数列,公差为4,
所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·
4=4n-2,
a1=2也适合上式,故an=4n-2.
【点拨】本例的关键是应用an=求数列的通项,特别要注意验证a1的值是否满足“n≥2”的一般性通项公式.
【变式训练2】已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是( )
A.2n-1B.()n-1C.n2D.n
【解析】由an=n(an+1-an)⇒=.
所以an=×
×
…×
=×
=n,故选D.
题型三 利用递推关系求数列的通项
【例3】已知在数列{an}中a1=1,求满足下列条件的数列的通项公式:
(1)an+1=;
(2)an+1=2an+2n+1.
(1)因为对于一切n∈N*,an≠0,
因此由an+1=得=+2,即-=2.
所以{}是等差数列,=+(n-1)·
2=2n-1,即an=.
(2)根据已知条件得=+1,即-=1.
所以数列{}是等差数列,=+(n-1)=,即an=(2n-1)·
2n-1.
【点拨】通项公式及递推关系是给出数列的常用方法,尤其是后者,可以通过进一步的计算,将其进行转化,构造新数列求通项,进而可以求得所求数列的通项公式.
【变式训练3】设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)·
a-na+an+1an=0(n=1,2,3,…),求an.
【解析】因为数列{an}是首项为1的正项数列,
所以anan+1≠0,所以-+1=0,
令=t,所以(n+1)t2+t-n=0,
所以[(n+1)t-n](t+1)=0,
得t=或t=-1(舍去),即=.
所以·
·
…·
=·
,所以an=.
总结提高
1.给出数列的前几项求通项时,常用特征分析法与化归法,所求通项不唯一.
2.由Sn求an时,要分n=1和n≥2两种情况.
3.给出Sn与an的递推关系,要求an,常用思路是:
一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;
二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.
6.2 等差数列
典例精析
题型一 等差数列的判定与基本运算
【例1】已知数列{an}前n项和Sn=n2-9n.
(1)求证:
{an}为等差数列;
(2)记数列{|an|}的前n项和为Tn,求Tn的表达式.
(1)证明:
n=1时,a1=S1=-8,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10,
当n=1时,也适合该式,所以an=2n-10(n∈N*).
当n≥2时,an-an-1=2,所以{an}为等差数列.
(2)因为n≤5时,an≤0,n≥6时,an>0.
所以当n≤5时,Tn=-Sn=9n-n2,
当n≥6时,Tn=++…+++…+
=-a1-a2-…-a5+a6+a7+…+an
=Sn-2S5=n2-9n-2×
(-20)=n2-9n+40,
所以,
【点拨】根据定义法判断数列为等差数列,灵活运用求和公式.
【变式训练1】已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S21=42,若记bn=,则数列{bn}( )
A.是等差数列,但不是等比数列B.是等比数列,但不是等差数列
C.既是等差数列,又是等比数列D.既不是等差数列,又不是等比数列
【解析】本题考查了两类常见数列,特别是等差数列的性质.根据条件找出等差数列{an}的首项与公差之间的关系从而确定数列{bn}的通项是解决问题的突破口.{an}是等差数列,则S21=21a1+d=42.
所以a1+10d=2,即a11=2.所以bn==22-(2a11)=20=1,即数列{bn}是非0常数列,既是等差数列又是等比数列.答案为C.
题型二 公式的应用
【例2】设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范围;
(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.
(1)依题意,有
S12=12a1+>0,S13=13a1+<0,
即
由a3=12,得a1=12-2d.③
将③分别代入①②式,得
所以-<d<-3.
(2)方法一:
由d<0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>0,an+1<0,
则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
由于S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0,
即a6+a7>0,a7<0,因此a6>0,a7<0,
故在S1,S2,…,S12中,S6的值最大.
方法二:
【变式训练2】在等差数列{an}中,公差d>0,a2008,a2009是方程x2-3x-5=0的两个根,Sn是数列{an}的前n项的和,那么满足条件Sn<0的最大自然数n= .
【解析】由题意知又因为公差d>0,所以a2008<0,a2009>0.当
n=4015时,S4015=×
4015=a2008×
4015<0;
当n=4016时,S4016=×
4016=×
4016>0.所以满足条件Sn<0的最大自然数n=4015.
题型三 性质的应用
【例3】某地区2010年9月份曾发生流感,据统计,9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人,此后,每天的新感染者人数比前一天增加40人;
但从9月11日起,该地区医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,每天的新感染者人数比前一天减少10人.
(1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数;
(2)该地区9月份(共30天)该病毒新感染者共有多少人?
(1)由题意知,该地区9月份前10天流感病毒的新感染者的人数构成一个首项为40,公差为40的等差数列.
所以9月10日的新感染者人数为40+(10-1)×
40=400(人).
所以9月11日的新感染者人数为400-10=390(人).
(2)9月份前10天的新感染者人数和为S10==2200(人),
9月份后20天流感病毒的新感染者的人数,构成一个首项为390,公差为-10的等差数列.
所以后20天新感染者的人数和为T20=20×
390+×
(-10)=5900(人).
所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2200+5900=8100(人).
【变式训练3】设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S5≤15,则a4的最大值为
.
【解析】因为等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4≥10,S5≤15,
所以≤a4≤3+d,即5+3d≤6+2d,所以d≤1,
所以a4≤3+d≤3+1=4,故a4的最大值为4.
1.在熟练应用基本公式的同时,还要会用变通的公式,如在等差数列中,am=an+(m-n)d.
2.在五个量a1、d、n、an、Sn中,知其中的三个量可求出其余两个量,要求选用公式要恰当,即善于减少运算量,达到快速、准确的目的.
3.已知三个或四个数成等差数列这类问题,要善于设元,目的仍在于减少运算量,如三个数成等差数列时,除了设a,a+d,a+2d外,还可设a-d,a,a+d;
四个数成等差数列时,可设为a-3m,a-m,a+m,a+3m.
4.在求解数列问题时,要注意函数思想、方程思想、消元及整体消元的方法的应用.
6.3 等比数列
题型一 等比数列的基本运算与判定
【例1】数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3,…).求证:
(1)数列{}是等比数列;
(2)Sn+1=4an.
(1)因为an+1=Sn+1-S
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