安徽省淮北市届高三第一次模拟考试数学理试题 Word版含答案Word下载.docx

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6.已知实数x，y满足设，若的最大值为6，则的最小值为（）

A．—3B．—2C．—1D．0

7.某项实验，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有（）

A．34种B．48种C．96种D．144种

8.若函数的导函数是，则函数（0<

a<

1）的单调递减区间是（）

A、，B、C、D、

9.若对任意，不等式恒成立，则一定有（）

A．B．C．D．

10.已知的外接圆的圆心为,满足：

，且，,则（）

A.36B.24C.24D.

二、填空题（每小题5分，共25分）

11.执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值

为　　

12.在的二项展开式中，的系数为

13．已知，则有，且当时等号成立，利用此结论，可求函数，的最小值为

14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为AD、CC1的中点，O为上底面A1B1C1D1的中心，则三棱锥O-MNB的体积是。

15.称离心率为的双曲线为黄金双曲线．如图是双曲线

的图象，给出以下几个说法：

①双曲线是黄金双曲线；

②若，则该双曲线是黄金双曲线；

③若F1，F2为左右焦点，A1，A2为左右顶点，B1（0，b），

B2（0，-b）且∠F1B1A2=90°

，则该双曲线是黄金双曲线；

④若MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2，∠MON=90°

，则该双

曲线是黄金双曲线．

其中正确命题的序号为

三、解答题（共75分，请写出详细解答过程）

16.（本题满分12分）已知函数=sin（2x+）+cos2x．

（1）求函数的单调递增区间。

（2）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积．

17.（本题满分12分）如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°

，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM∥AC.

（1）求证：

平面MOE∥平面PAC；

（2）求证：

平面PAC⊥平面PCB；

（3）设二面角M－BP－C的大小为θ，求cosθ的值．

18.（本题满分12分）

近年来空气污染是一个生活中重要的话题，PM2．5就是其中一个指标。

PM2．5指大气中直径小于或等于2．5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．PM2．5日均值在35微克／立方米以下空气质量为一级：

在35微克／立方米～75微克／立方米之间空气质量为二级；

在75微克／立方米以上空气质量为超标．

淮北相山区2014年12月1日至I0日每天的PM2．5监测数据如茎叶图所示．

（1）期间的某天小刘来此地旅游，求当天PM2．5日均监测数据未超标的概率；

（2）陶先生在此期间也有两天经过此地，这两天此地PM2．5监测数据均未超标．请计算出这两天空气质量恰好有一天为一级的概率；

（3）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列及期望．

19.（本题满分12分）已知椭圆C：

（a>

b>

0）的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2,且椭圆C过点P（，），以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：

在轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？

若存在，请求出两定点坐标；

若不存在，请说明理由.

20.（本题满分13分）

已知数列满足.

（1）若，求证：

数列是等比数列并求其通项公式；

（2）求数列的通项公式；

（3）求证：

++…+.

21.（本题满分14分）已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数上是减函数，求实数a的最小值；

（3）若，使成立，求实数a的取值范围.

答案：

一、选择题：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

C

A

二、填空题：

11、412、13、14、15、①②③④

三、解答题：

16、

（1）解：

=

==

=…………………………3分

令

，

的单调递增区间为：

…………………………6分

（2）由，

又

因此，解得：

…………………………8分

由正弦定理，得，

又由可得：

…………………………10分

故…………………………12分

17.

（1）因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，

所以OE∥PA.

因为PA平面PAC，OE⊄平面PAC，

所以OE∥平面PAC.

因为OM∥AC，

又AC平面PAC，OM⊄平面PAC，

所以OM∥平面PAC.

因为OE平面MOE，OM平面MOE，OE∩OM＝O，

所以平面MOE∥平面PAC.…………………………4分

（2）因为点C在以AB为直径的⊙O上，

所以∠ACB＝90°

，即BC⊥AC.

因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，

所以PA⊥BC.

因为AC平面PAC，PA平面PAC，PA∩AC＝A，

所以BC⊥平面PAC.

因为BC平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.…………………………9分

（3）如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系C－xyz.

因为∠CBA＝30°

，PA＝AB＝2，

所以CB＝2cos30°

＝，AC＝1.

延长MO交CB于点D.

所以MD⊥CB，MD＝1＋＝，CD＝CB＝.

所以P（1,0,2），C（0,0,0），B（0，，0），M（，，0）．

所以＝（1,0,2），＝（0，，0）．

设平面PCB的法向量m＝（x，y，z）．

因为即

令z＝1，则x＝－2，y＝0.

所以m＝（－2,0,1）．

同理可求平面PMB的一个法向量n＝（1，，1）．

所以cos〈m，n〉＝＝－.所以cosθ＝.…………………………12分

18.解：

（1）记“恰好赶上PM2.5日均监测数据未超标”为事件A

………………………………3分

（2）记“他这两次此地PM2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”

为事件B，………………………………7分

（3）的可能值为0,1,2,3

………………10分

其分布列为：

P

………………12分

19.解：

（1）因为椭圆过点P（，）,所以=1,解得a2=2,

又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2⊥F2P,即-⋅=-1,b2=c（4-3c）.……6分

而b2=a2-c2=2-c2,所以c2-2c+1=0,解得c2=1,

故椭圆C的方程是+y2=1.………………………4分

（2）①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得

（1+2k2）x2+4kpx+2p2－2=0.

因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以

△=16k2p2－4（1+2k2）（2p2－2）=8（1+2k2―p2）=0，

即1+2k2=p2.…………………………………7分

设在x轴上存在两点（s,0）,（t,0）,使其到直线l的距离之积为1,则

⋅==1,

即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或（st+3）k2+（s+t）kp+2=0（**）.

由（*）恒成立,得解得,或,

而（**）不恒成立.…………………………10分

②当直线l斜率不存在时，直线方程为x=±

时，

定点（－1，0）、F2（1，0）到直线l的距离之积d1⋅⋅d2=（－1）（+1）=1.

综上,存在两个定点（1,0）,（-1,0）,使其到直线l的距离之积为定值1.……………12分

20.解：

（1）

又

所以是首项为，公比为4的等比数列，且……………5分

（2）由（Ⅰ）可知，……………………7分

………………8分

所以，或………………9分

（3）∴

…………………………………11分

当n＝2k时，

当n＝2k－1时，

<

∴＋＋…＋＜3．…………13分

21.解：

由已知函数的定义域均为,且.……1分

（1）函数,

当且时,;

当时,.

所以函数的单调减区间是,增区间是.………………4分

（2）因f（x）在上为减函数，故在上恒成立．

所以当时，．

又，

故当，即时，．

所以于是，故a的最小值为．………………………………7分

（3）命题“若使成立”等价于

“当时，有”．

由（Ⅱ），当时，，．

问题等价于：

“当时，有”．………………………………9分

当时，由（Ⅱ），在上为减函数，

则=，故．

当时，由于在上为增函数，

故的值域为，即．

（i）若，即，在恒成立，故在上为增函数，

于是，=，不合题意．……………………11分

（ii）若，即，由的单调性和值域知，

唯一，使，且满足：

当时，，为减函数；

当时，，为增函数；

所以，=，．

所以，，与矛盾，不合题意．

综上，得．…………………………………14分