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由于对数函数与指数函数互为反函数,所以的图象与的图象关于直线对称。
因此,我们只要画出和的图象关于对称的曲线,就可以得到的图象,然后根据图象特征得出对数函数的性质。
2、对数函数的图象和性质
图
象
性
质
(1)定义域:
(0,+∞)
(2)值域:
R
(3)过点(1,0),即当时,
(4)在(0,+∞)上是增函数
(4)在(0,+∞)上是减函数
说明:
图中虚线表示的曲线是指数函数的图象
接下来,我们通过例题来看一下对数函数性质的简单应用。
3、例题讲解:
例1.求下列函数的定义域:
(1);
(2);
(3)
分析:
此题主要利用对数函数的定义域(0,+∞)求解。
解:
(1)由>
0得。
所以函数的定义域是;
(2)由得。
(3)由9-得-3。
所以函数的定义域是
评述:
此题只是对数函数性质的简单应用,应强调学生注意书写格式。
为使大家进一步熟悉对数函数的图象和性质,我们来做练习。
(Ⅲ)课堂练习:
课本P89练习1,2
要求:
学生板演练习,教师讲评
(Ⅳ)课时小结:
通过本节学习,大家应逐步掌握对数函数的图象与性质,并能利用对数函数的性质解决一些简单问题,如求对数形式的复合函数的定义域问题。
(V)课后作业
一、课本P89习题2.81,2;
二、1.预习内容:
P88例题,例3
2、预习提纲:
(1)同底数的两对数如何比较大小?
(2)不同底数的两对数如何比较大小?
板书设计
2.8.1
3.例题:
(1)4.学生练习
1.对数2.图象
(2)
(1)
定义性质
(3)
(2)
(4)
2.8.2对数函数性质应用
教学目标:
1、掌握对数函数单调性;
2、掌握比较同底数对数大小的方法;
3、培养学生数学应用意识
利用对数函数单调性比较对数大小
不同底数的对数比较大小
自学辅导法
上一节,大家学习了对数函数的图象和性质,明确了对数函数的单调性,即:
当时,在(0,+∞)上是增函数;
当时,在(0,+∞)是减函数。
这一节,我们主要学习对数函数单调性的应用。
1、例题讲解:
例2:
比较下列各组数中两个值的大小:
此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小。
(1)考查对数函数,因为它的底数2>
1,所以它在(0,+∞)上是增函数,于是
(2)考查对数函数,因为它的底数0<
0.3<
1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是
通过例2
(1)、
(2)的解答,大家可以试着总结两个同底数的对数比较大小的一般步骤:
(1)确定所要考查的对数函数;
(2)根据对数底数判断对数函数增减性;
(3)比较真数大小,然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小
(3)当时,在(0,+∞)上是增函数,于是
当时,在(0,+∞)上是减函数,于是
对数函数的增减性决定于对数的底数是大于是还是小于是。
而已知条件并未指明,因此需要对底数进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握。
例3:
比较下列各组中两个值的大小:
(2)
由于两个对数值不同底,故不能直接比较大小,可在两对数值中间插入一个已知数,间接比较两对数的大小。
(1)
(2);
;
例3仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小,当不能直接比较时,经常在两个对数中间插入1或0等,间接比较两个对数的大小,例3
(2)题也可与1比较。
课本P89练习3
补充:
比较与两个值的大小
学生板演,教师讲评
(Ⅳ)课时小结
通过本节学习,大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法,并要能逐步掌握分类讨论的思想方法。
一、课本P89习题2.83
函数单调性、奇偶性证明
预习提纲:
(1)判断、证明函数单调性的通法;
(2)判断、证明函数奇偶性的通法。
板书设计院
2.8.2
例2例3学生练习
(1)
(2)1.
(2)
(2)2.
教学后记
2.8.3对数函数性质应用
教学目标:
1.掌握对数函数单调性;
2.掌握比较同底数对数大小的方法;
3.培养学生数学应用意识
函数单调性、奇偶性的证明通法
对数运算性质、对数函数性质的应用
引导式
上一节,我要求大家预习函数单调性、奇偶性的证明方法,现在,我们进行一下回顾。
1、判断及证明函数单调性的基本步骤:
假设—作差—变形—判断
变形目的是为了易于判断;
判断有两层含义:
一是对差式正负的判断;
二是对增减函数定义的判断。
1、判断及证明函数奇偶性的基本步骤:
1考查函数定义域是否关于原点对称;
2比较与或者的关系;
3根据函数奇偶性定义得出结论。
考查函数定义域容易被学生忽视,应强调学生注意。
接下来,我们一起来看例题
例4:
判断下列函数的奇偶性:
首先要注意定义域的考查,然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行
(1)由可得,所以函数的定义域为:
()关于原点对称
又。
即
所以函数奇函数
此题确定定义域即解简单分式不等式,函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质。
说明判断对数形式的复合函数的奇偶性,不能轻易直接下结论,而应注意对数式的恒等变形。
(2)由可得,所以函数的定义域为R关于原点对称
又
所以函数是奇函数
此题定义域的确定可能稍有困难,可以讲解此点,而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧,应要求学生掌握。
例5:
(1)证明函数在上是增函数。
(2)问:
函数在上是减函数还是增函数?
此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法,同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法。
证明:
设,且
则
又在上是增函数
∴,即
∴函数在上是增函数
(2)题证明可以依照上述证明过程给出
此题可引导学生总结函数的增减性与函数的增减性的关系,并可在课堂练习之后得出一般性的结论。
(Ⅲ)课堂练习
(1)证明函数在上是减函数;
(2)判断函数在上的增减性
通过本节学习,大家能进一步熟悉对数函数的性质应用,并掌握证明函数单调性、奇偶性的通法,提高数学应用的能力。
一、1.求的单调递减区间;
2.求的单调递增区间;
3、已知在[0,1]上是的减函数,求的取值范围
课本P90例1,P96~P97
2.预习提纲:
(1)什么是数学模型?
(2)什么是数学建模
(3)你认为数学建模的关键是什么?
2.8.3
例4例5学生练习
(1)解答
(1)
(2)解答
(2)
2.9.1函数的应用举例
1.了解数学建模;
2.掌握根据已知条件建立函数关系式;
3培养学生分析问题、解决问题的能力;
4、培养学生应用数学的意识
根据已知条件建立函数关系式
数学建模意识
读议讲练法
前面,我们已经学习了函数的概念、函数的性质以及指数函数和对数函数,并要求大家在课前对本章作系统地归纳整理,接上来,用已学过的知识举例说明函数的应用。
大家首先阅读课本P96~P97,来了解一下数学建模的有关知识
1、数学模型与数学建模:
简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述。
数学模型方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相当的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。
2、例题讲解:
例1:
用长为m的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图),若矩形底边长为2,求此框架的面积与的函数式,并写出它的定义域。
所求框架面积由矩形和半圆组成,数量关系较为明确,而且题中已设出变量,所以属于函数关系的简单应用。
如图设,则CD弧长=,于是AD
因此
再由解之得
即函数式是:
定义域是:
此题虽为函数关系的简单应用,但应让学生通过此题明确应用的能力要求及求解应用题的基本步骤。
1.数学应用题的能力要求:
(1)阅读理解能力;
(2)抽象概括能力
(3)数学语言的运用能力;
(4)分析、解决数学问题的能力
2.解答应用题的基本步骤:
(1)合理、恰当假设;
(2)抽象概括数量关系,并能用数学语言表示;
(3)分析、解决数学问题;
(4)数学问题的解向实际问题的还原。
有了上述说明,我们在看例2时就应有所注意。
如图所示,有一块半径为R的半圆形纲板,计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB是⊙O的直径,上底CD的端点在圆周上,写出这个梯形周长和腰长间的函数式,并求出它的定义域。
要用腰长表示周长的关系式,应该知道等腰梯形各边的长,下底长已知为2R,两腰长为2,因此,只须用已知量(半径R)和腰长的函数式。
如图所示,AB=2R,C、D在⊙O的半圆周上设腰长AD=BC=,作DE⊥AB,垂足为E,墨守成规结BD,那么∠ADB是直角,由此Rt△ADE~△ABD。
∴即∴
所以,即
再由解得
∴周长与腰长的函数式为:
,定义域为:
例2是实际应用问题,解题过程是从问题出发,引进数学符号,建立函数关系式,再研究函数关系式的定义域,并结合问题的实际意义做出回答,这个过程实际上就是建立数学模型的一种最简单的情形。
课本P92练习薄,2
通过本节学习,大家应对数学建模有所了解,并能根据已知条件建立函数关系式,逐步增强解决实际问题的能力。
一、课本P93习题2.91,2
二、1.、预习内容:
课本P91例2
2.预习提纲
(1)例2的数学模型和哪种函数有关?
(2)试列举有关平均增长率的实际问题。
2.9.1
1.应用题要求;
3.例14.例2例5学生练习
2.基本步骤
2.9.2函数的应用举例
1.继续了解数学建模的方法;
2.能够建立有关增长率的数学模型;
3培养学生应用数学的意识
数学建模的方法
上一节,我们了解了数学建模的方法和较简单的情形,并总结了解答应
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- 对数 函数 教案