浙江专版高中数学第二章圆锥曲线与方程24抛物线学案新人教A版选修21Word下载.docx
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x=
x2=2py(p>
y=-
x2=-2py(p>
y=
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点轨迹一定是抛物线( )
(2)抛物线y2=20x的焦点坐标是(0,5)( )
答案:
(1)×
(2)×
2.抛物线x=-2y2的准线方程是( )
A.y= B.y=
C.x=D.x=
D
3.已知动点P到定点(2,0)的距离和它到直线l:
x=-2的距离相等,则点P的轨迹方程为________.
y2=8x
求抛物线的标准方程
[典例] 求适合下列条件的抛物线的标准方程:
(1)过点M(-6,6);
(2)焦点F在直线l:
3x-2y-6=0上.
[解]
(1)由于点M(-6,6)在第二象限,
∴过M的抛物线开口向左或开口向上.
若抛物线开口向左,焦点在x轴上,
设其方程为y2=-2px(p>
0),
将点M(-6,6)代入,可得36=-2p×
(-6),
∴p=3.
∴抛物线的方程为y2=-6x.
若抛物线开口向上,焦点在y轴上,设其方程为x2=2py(p>
将点M(-6,6)代入可得,36=2p×
6,
∴p=3,
∴抛物线的方程为x2=6y.
综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y.
(2)①∵直线l与x轴的交点为(2,0),
∴抛物线的焦点是F(2,0),
∴=2,∴p=4,
∴抛物线的标准方程是y2=8x.
②∵直线l与y轴的交点为(0,-3),
即抛物线的焦点是F(0,-3),
∴=3,∴p=6,
∴抛物线的标准方程是x2=-12y.
综上所述,所求抛物线的标准方程是y2=8x或x2=-12y.
求抛物线的标准方程的关键与方法
(1)关键:
确定焦点在哪条坐标轴上,进而求方程的有关参数.
(2)方法:
①直接法,建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出对应方程,化简方程.
②直接根据定义求p,最后写标准方程.
③利用待定系数法设标准方程,找有关的方程组求系数.
[活学活用]
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2=-14x;
(2)5x2-2y=0;
(3)y2=ax(a>
0).
解:
(1)因为p=7,所以焦点坐标是,准线方程是x=.
(2)抛物线方程化为标准形式为x2=y,因为p=,所以焦点坐标是,准线方程是y=-.
(3)由a>
0知p=,所以焦点坐标是,准线方程是x=-.
抛物线定义的应用
[典例]
(1)已知抛物线C:
y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=( )
A.1 B.2
C.4D.8
(2)(浙江高考)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A.
B.
C.
D.
[解析]
(1)由题意知抛物线的准线为x=-.因为|AF|=x0,根据抛物线的定义可得x0+=|AF|=x0,解得x0=1,故选A.
(2)由图形可知,△BCF与△ACF有公共的顶点F,且A,B,C三点共线,易知△BCF与△ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1,0),作准线l,则l的方程为x=-1.∵点A,B在抛物线上,过A,B分别作AK,BH与准线垂直,垂足分别为点K,H,且与y轴分别交于点N,M.由抛物线定义,得|BM|=|BF|-1,|AN|=|AF|-1.在△CAN中,BM∥AN,∴==.
[答案]
(1)A
(2)A
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化,从而简化某些问题.
(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.
1.已知F是拋物线y2=x的焦点,A,B是该拋物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B.1 C. D.
解析:
选C 根据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段AB中点到y轴的距离为:
(|AF|+|BF|)-=-=.
2.经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A、B两点,如果A,B在抛物线C的准线上的射影分别为A1,B1,那么∠A1FB1为( )
A.B.C.D.
选C 由抛物线的定义可知|BF|=|BB1|,|AF|=|AA1|,故∠BFB1=∠BB1F,∠AFA1=∠AA1F.又∠OFB1=∠BB1F,∠OFA1=∠AA1F,故∠BFB1=∠OFB1,∠AFA1=∠OFA1,所以∠OFA1+∠OFB1=×
π=,即∠A1FB1=.
抛物线的实际应用
[典例] 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线形,跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过18米,目前吃水线上部中央船体高5米,宽16米,且该货船在现有状况下还可多装1000吨货物,但每多装150吨货物,船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度,问:
该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?
为什么?
[解] 如图所示,以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为x轴,竖直直线为y轴,建立直角坐标系.
因为拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米,
所以A(10,-2).
设桥孔上部抛物线方程是x2=-2py(p>
则102=-2p×
(-2),所以p=25,
所以抛物线方程为x2=-50y,即y=-x2.
若货船沿正中央航行,船宽16米,而当x=8时,
y=-×
82=-1.28,
即船体在x=±
8之间通过,B(8,-1.28),此时B点距水面6+(-1.28)=4.72(米).
而船体高为5米,所以无法通行.
又因为5-4.72=0.28(米),0.28÷
0.04=7,
150×
7=1050(吨),
所以若船通过增加货物通过桥孔,则要增加1050吨,而船最多还能装1000吨货物,所以货船在现有状况下不能通过桥孔.
求抛物线实际应用的五个步骤
(1)建系:
建立适当的坐标系;
(2)假设:
设出合适的抛物线标准方程;
(3)计算:
通过计算求出抛物线的标准方程;
(4)求解:
求出需要求出的量;
(5)还原:
还原到实际问题中,从而解决实际问题.
如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽________米.
建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线的方程为x2=-2py,则点(2,-2)在抛物线上,代入可得p=1,
所以x2=-2y.当y=-3时,x2=6,所以水面宽为2米.
2
层级一 学业水平达标
1.抛物线y=12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A.3 B.6
C.D.
选C 将方程化为标准形式是x2=y,因为2p=,所以p=.故到焦点的距离最小值为.
2.已知抛物线y2=2px(p>
0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为( )
A.B.1
C.2D.4
选C ∵抛物线y2=2px的准线x=-与圆(x-3)2+y2=16相切,∴-=-1,即p=2.
3.已知抛物线C:
y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=( )
A.B.
C.3D.2
选C 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,因为=4,所以|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ′|=3.故选C.
4.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为( )
A.抛物线B.双曲线
C.椭圆D.圆
选A 由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.
5.已知双曲线C1:
-=1(a>
0,b>
0)的离心率为2.若抛物线C2:
0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )
A.x2=yB.x2=y
C.x2=8yD.x2=16y
选D 双曲线的渐近线方程为y=±
x,由于===2,所以=,所以双曲线的渐近线方程为y=±
x.抛物线的焦点坐标为,所以=2,所以p=8,所以抛物线方程为x2=16y.
6.抛物线x=y2的焦点坐标是________.
方程改写成y2=4mx,得2p=4m,∴p=2m,即焦点(m,0).
(m,0)
7.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是________.
设点M的横坐标为x,则点M到准线x=-1的距离为x+1,
由抛物线的定义知x+1=10,∴x=9,
∴点M到y轴的距离为9.
9
8.对标准形式的抛物线,给出下列条件:
①焦点在y轴上;
②焦点在x轴上;
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;
④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1).
其中满足抛物线方程为y2=10x的是________.(要求填写适合条件的序号)
抛物线y2=10x的焦点在x轴上,②满足,①不满足;
设M(1,y0)是y2=10x上一点,则|MF|=1+=1+=≠6,所以③不满足;
由于抛物线y2=10x的焦点为,过该焦点的直线方程为y=k,若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则k=-2,此时存在,所以④满足.
②④
9.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程.
法一:
如图所示,设抛物线的方程为x2=-2py(p>
0),则焦点F,准线l:
y=,作MN⊥l,垂足为N,则|MN|=|MF|=5,而|MN|=3+,3+=5,即p=4.
所以抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2.
由m2=-8×
(-3)=24,得m=±
2.
法二:
设所求抛物线方程为x2=-2py(p>
0),则焦点为F.
∵M(m,-3)在抛物线上,且|MF|=5,
故解得
∴抛物线方程为x2=-8y,m=±
2,准线方程为y=2.
10.如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程;
(2)若行车道总宽度AB为7米,
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